Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=x\cdot p(x)-C(x)=48,2x-0,03x^2-1800-25,177x+0,2x^2-0,001x^3=-0,001x^3+0,17x^2+23,023x-1800$.
$P^{\prime }(x)=-0,003x^2+0,34x+23,023=0\Rightarrow x=\frac{0,34+\sqrt{0,34^2+4\cdot 0,003\cdot 23,023}}{0,006}=\frac{0,34+\sqrt{0,391876}}{0,006}\approx 161,0$.
Tại $x=161$: $P(161)=-4173,281+4406,57+3706,703-1800=2139,992$ triệu đồng (cận $P(0)=-1800$, $P\to -\infty$ khi $x\to \infty$). Vậy lợi nhuận lớn nhất là 2139,992 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số máy dùng, $1\le n\le 8$, $n\in \mathbb{Z}$. Thời gian để in hết 50 000 tờ: $t=\frac{50000}{3600n}$ giờ. Doanh thu in 50 000 tờ (mỗi lần in thu 50 000 đồng) là $50000\cdot 50000=2,5\cdot 10^9$ đồng (không phụ thuộc $n$). Chi phí: mỗi giờ $n$ máy tốn $10(6n+10)$ nghìn đồng $=(60n+100)\cdot 10^3$ đồng, nên tổng chi phí $$C(n)=(60n+100)\cdot 10^3\cdot \frac{50000}{3600n}=\frac{5\cdot 10^7}{36}\left(6+\frac{10}{n}\right).$$ Lãi $L(n)=2,5\cdot 10^9-C(n)$. Vì $C(n)$ giảm dần khi $n$ tăng (do $\frac{10}{n}$ giảm), lãi lớn nhất khi $n$ lớn nhất, tức $n=8$. Vậy cần dùng 8 máy in.

(AI giải đề cho tôi)
Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $y$ và hình bán nguyệt đường kính $x$ phía trên. Chu vi viền gồm: cạnh đáy $x$, hai cạnh dọc $2y$ và cung bán nguyệt $\frac{\pi x}{2}$.

a) Bán kính bán nguyệt $R=\frac{x}{2}$ nên chiều dài cung $=\pi R=\frac{\pi x}{2}$. Đúng.

b) Tổng dây: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8\Rightarrow y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}=4-\frac{x(2+\pi )}{4}$, không phải $4-\frac{x(4+\pi )}{4}$. Sai.

c) Diện tích: $S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=x\left(4-\frac{x(2+\pi )}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{(4+\pi )x^2}{8}$, không phải $4x-x^2$. Sai.

d) $S^{\prime }(x)=4-\frac{(4+\pi )x}{4}=0\Rightarrow x=\frac{16}{4+\pi }$. Khi đó $y=4-\frac{16}{4+\pi }\cdot \frac{2+\pi }{4}=\frac{4(4+\pi )-4(2+\pi )}{4+\pi }=\frac{8}{4+\pi }=\frac{16}{8+\pi }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính bán nguyệt là $x/2$ nên chiều dài cung là $\pi \cdot x/2=\frac{\pi x}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8$ suy ra $y=4-\frac{x(2+\pi )}{4}$, không phải $4-\frac{x(4+\pi )}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{(4+\pi )x^2}{8}\ne 4x-x^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=4-\frac{(4+\pi )x}{4}=0\Rightarrow x=\frac{16}{4+\pi }$, khi đó $y=4-\frac{16}{4+\pi }\cdot \frac{2+\pi }{4}=\frac{8}{4+\pi }=\frac{16}{8+\pi }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 10$. Đoạn dây trên đất liền là $AM=10-x$ km (30 triệu/km), đoạn dây trên biển là $MC=\sqrt{x^2+B{C}^2}=\sqrt{x^2+16}$ km (50 triệu/km). Tổng chi phí: $f(x)=30(10-x)+50\sqrt{x^2+16}$. Ta có $f^{\prime }(x)=-30+\frac{50x}{\sqrt{x^2+16}}=0\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{3}{5}\Rightarrow 25x^2=9x^2+144\Rightarrow 16x^2=144\Rightarrow x=3$ (thỏa $0\le x\le 10$). Kiểm tra: $f(0)=500$; $f(3)=210+250=460$; $f(10)=50\sqrt{116}\approx 538,5$. Vậy chi phí nhỏ nhất khi $BM=3$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc và gập lên, đáy hộp là hình vuông cạnh $3-2x$, chiều cao $x$, với $0<x<\frac{3}{2}$.

Thể tích: $V(x)=x(3-2x{)}^2=9x-12x^2+4x^3$.

$V^{\prime }(x)=9-24x+12x^2=3(3-2x)(3-6x)$.

$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận, vì $x=\frac{3}{2}$ ngoài miền xác định).

Trên $(0;\frac{1}{2})$ có $V^{\prime }(x)>0$, trên $(\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ có $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{1}{2}$.

$V_{\max }=V\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot (3-1{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 4=2$ (decimét khối).

Kết quả trùng với đáp án nguồn: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $s(0)=0\Rightarrow d=0$; $s(1)=5$; $s(3)=18$ (cực đại) và $s^{\prime }(3)=0$. Hệ: $a+b+c=5$, $9a+3b+c=6$, $27a+6b+c=0$ giải ra $a=-\frac{5}{4},b=\frac{11}{2},c=\frac{3}{4}$. Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{15}{4}{t}^2+11t+\frac{3}{4}$, đạt max tại $t=\frac{11}{2\cdot \frac{15}{4}}=\frac{22}{15}$ với $v_{\max }=-\frac{15}{4}\cdot \frac{484}{225}+11\cdot \frac{22}{15}+\frac{3}{4}=\frac{529}{60}\approx 8,82\approx 8,8$ km/h, khớp đáp án 8,8.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=3$ km, $CD=x$ km nên $AD=\sqrt{x^2+9}$ (km). a) Thời gian chèo trên $AD$ là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ (tốc độ chèo 6 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ → Sai. b) Vì $CB=8$ km, $D$ giữa $C$ và $B$ với $CD=x$ nên $BD=8-x$ km → Đúng. c) Tổng thời gian $T(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$, không phải mẫu 3 ở số hạng đầu → Sai. d) $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow 8x=6\sqrt{x^2+9}\Rightarrow 64x^2=36x^2+324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,4$ km. Khi đó $T_{\min }=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AD=\sqrt{x^2+9}$ km, tốc độ chèo 6 km/h nên thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ, không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D$ nằm giữa $C$ và $B$, $CB=8$ km, $CD=x$ km nên $BD=8-x$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$ (chèo 6 km/h, chạy 8 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{8-x}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}$; $T_{\min }=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng bể là $x$ ($0<x\le 4$), chiều dài $2x$, chiều cao $h=\frac{36}{2x^2}=\frac{18}{x^2}$. Diện tích bề mặt bể (không có nắp): $S=2x^2+(2x+2x+x)h=2x^2+6x\cdot \frac{18}{x^2}=2x^2+\frac{108}{x}$. Xét $f(x)=2x^2+\frac{108}{x}$ trên $(0;4]$: $f^{\prime }(x)=4x-\frac{108}{x^2}=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$ (thỏa $x\le 4$). Với $x<3$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$. Khi đó chiều cao $h=\frac{18}{3^2}=2$ m. Kết quả khớp đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1001: 2).

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
$0<x<40$
Cạnh đáy là 80-2x
Thể tích hộp là $V(x)=(80-2x{)}^{2}x$
$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{40}{3}$
Vậy cabhj hình vuông bị cắt là $\frac{40}{3}cm$ (ghi chú: 'cabhj' là lỗi đánh máy trong nguồn, ý là 'cạnh')

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1100+\frac{9100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $$N^{\prime }(t)=9100\cdot \frac{(100+t^2)-t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{9100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}.$$ Cho $N^{\prime }(t)=0\Rightarrow t^2=100\Rightarrow t=10$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<10$ thì $N^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $N^{\prime }(t)<0$, nên $N(t)$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=10$ giây. Khi đó số vi khuẩn lớn nhất là $N(10)=1100+\frac{91000}{200}=1100+455=1555$ con. Vậy thời gian cần tìm là $t=10$ giây, khớp với đáp án nguồn.

a) Sai: Gọi $x$ là khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ thì khi ấy mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà được biểu diễn dưới hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ trong đó $0<x<L$; do mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương nên giá trị $k$ đề cập ở mệnh đề xem như bằng 1.
b) Đúng: Xét hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ với $0<x<L$. Ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{2I_1}{x^3}+\frac{2I_2}{(L-x{)}^3}$. Giải $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}};k=\frac{I_2}{I_1}$. Xét $f^{\prime \prime }(x)$ để thấy $f^{\prime \prime }\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)>0$, cùng với ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to L}f(x)=+\infty$ nên $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}$ là điểm cực tiểu của $f(x)$ tức ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)$. Với $I_1=I_2$ tức $k=1$ suy ra nhỏ nhất khi $x=\frac{L}{2}$.
c) Đúng: Với $I_1=8I_2$ tức $k=\frac{1}{8}$ suy ra cường độ âm tổng hợp nhỏ nhất khi $x=\frac{2L}{3}$, khi ấy khoảng cách từ nhà đến $I_2$ là $\frac{L}{3}$. Như vậy khoảng cách giảm đi $\left|\frac{L}{2}-\frac{L}{3}\right|=\frac{L}{6}$ so với tỉ lệ ban đầu $I_1=I_2$.
d) Sai: Từ giả thiết $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\to k=\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{L}{L-2}-1\right)}^3=\frac{8}{(L-2{)}^3}$. Cần $k\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}=\frac{2}{m},m\in \mathbb{Z}$. Do $L$ nguyên dương nên $m$ là ước nguyên dương của 2, suy ra $m=1\to k=1$, $m=2\to k=8$ tức có 2 giá trị nguyên $k$.
a) Sai: Gọi $x$ là khoảng cách từ vị trí dự kiến xây ngôi nhà đến quán karaoke có cường độ âm thanh $I_1$ thì khi ấy mức âm thanh từ hai quán karaoke ảnh hưởng đến ngôi nhà được biểu diễn dưới hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ trong đó $0<x<L$. Giải thích: do mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương nên giá trị $k$ đề cập ở mệnh đề xem như bằng 1.
b) Đúng: Xét hàm số $f(x)=\frac{I_1}{x^2}+\frac{I_2}{(L-x{)}^2}$ với $0<x<L$. Ta có: $f^{\prime }(x)=-\frac{2I_1}{x^3}+\frac{2I_2}{(L-x{)}^3}$. Giải $f^{\prime }(x)=0\iff \frac{k}{(L-x{)}^3}=\frac{1}{x^3}\iff x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}};k=\frac{I_2}{I_1}$. Xét $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6I_1}{x^4}-\frac{6I_2}{(L-x{)}^4}$ để thấy $f^{\prime \prime }\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)>0$, cùng với ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to L}f(x)=+\infty$ nên ta suy ra $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ tức ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\right)$. Với $I_1=I_2$ tức $k=1$ ta suy ra ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{L}{2}\right)$ tức nhỏ nhất khi $x=\frac{L}{2}$.
c) Đúng: Với $I_1=8I_2$ tức $k=\frac{1}{8}$ ta suy ra ${\min }_{(0;L)}f(x)=f\left(\frac{2L}{3}\right)$ tức cường độ âm tổng hợp nhỏ nhất khi $x=\frac{2L}{3}$ tức khoảng cách từ nhà ông Bảo đến $I_1$ là $x=\frac{2L}{3}$, khi ấy ta suy ra khoảng cách từ nhà ông Bảo đến $I_2$ là $L-\frac{2L}{3}=\frac{L}{3}$. Như vậy khoảng cách giảm đi $\left|\frac{L}{2}-\frac{L}{3}\right|=\frac{L}{6}$ so với tỉ lệ ban đầu là $I_1=I_2$.
d) Sai: Từ giả thiết ta có $x=\frac{L}{1+\sqrt[3]{k}}\to k=\frac{I_2}{I_1}={\left(\frac{L}{L-2}-1\right)}^3=\frac{8}{(L-2{)}^3}$. Ta cần $k\in \mathbb{Z}\to \frac{8}{(L-2{)}^3}={\left(\frac{2}{L-2}\right)}^3\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}\in \mathbb{Z}\to \frac{2}{L-2}=\frac{2}{m},m\in \mathbb{Z}$. Do $L$ nguyên dương nên $L-2$ nguyên dương tức $m$ là 1 ước nguyên dương của 2. Suy ra $m=1\to k=1$, $m=2\to k=8$ tức có 2 giá trị nguyên $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: đáy màn hình cách sàn 4 m, đỉnh màn hình cao 14 m. Sàn nghiêng góc 30° bắt đầu từ điểm cách màn hình 3 m (theo hình vẽ). Gọi $u=h-4$ với $h$ là độ cao mắt so với mặt đất. Khi đó $h=4+u$, khoảng cách ngang từ mắt đến màn hình là $d=3+x\cos 30^{\circ }$, và vì mắt cao 1 m so với chân ghế nên $h=1+x\sin 30^{\circ }=1+\frac{x}{2}$, suy ra $x=2(u+3)$ và $d=3+\sqrt{3}(u+3)=3+3\sqrt{3}+\sqrt{3}u$.

Góc nhìn $\theta$ giữa hai tia nhìn tới đáy (4 m) và đỉnh (14 m) màn hình:
$$\tan \theta =\frac{10d}{d^2+(4-h)(14-h)}=\frac{10d}{d^2+u^2-10u}.$$

Để $\theta$ lớn nhất, lấy đạo hàm của $g(u)=\frac{d}{d^2+u^2-10u}$ với $d=3+3\sqrt{3}+\sqrt{3}u$ bằng 0:
$$\sqrt{3}(d^2+u^2-10u)-d(2\sqrt{3}d+2u-10)=0.$$

Giải phương trình này bằng cách thử số: với $u=-0,55$ vế trái $\approx -0,4$; với $u=-0,56$ vế trái $\approx 0,19$; nghiệm $u\approx -0,5565$.

Khi đó $x=2(u+3)\approx 2(2,4435)\approx 4,887\approx 4,89$ m.

Kiểm tra: tại $u\approx -0,5565$, $d\approx 7,233$, $\tan \theta =\frac{10\cdot 7,233}{52,32+0,31+5,565}=\frac{72,33}{58,19}\approx 1,243\Rightarrow \theta \approx 51,2^{\circ }\approx 51^{\circ }$, khớp với đề bài.

Vậy $x\approx 4,89$ m, trùng với đáp án nguồn 4,89.

Gọi $x,y$ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp. Điều kiện: $x>0;y>0(m)$. Ta có thể tích của khối hộp: $V=1,5xy=900\Rightarrow xy=600\Rightarrow y=\frac{600}{x}\left(m^3\right)$. Diện tích mặt đáy: $S_d=xy=x.\frac{600}{x}=600\left({\text{m}}^2\right)$. Giá tiền để làm mặt đáy là: $600.4000000=24.10^8$ (đồng). Diện tích xung quanh của bể cá: $S_{xq}=2.x.1,5+2.y.1,5=3.(x+y)=3.\left(x+\frac{600}{x}\right)$. Giá tiền để làm mặt bên là: $3.\left(x+\frac{600}{x}\right).2800000=84.10^5.\left(x+\frac{600}{x}\right)$. Tổng chi phí để xây dựng bể cá là: $$T(x)=84.10^5.\left(x+\frac{600}{x}\right)+24.10^8\ge 84.10^5.2\sqrt{x.\frac{600}{x}}+24.10^8\approx 2812\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$ Đáp án: 2812

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá bán là $30+x$ nghìn đồng/kg ($x\ge 0$, số lần tăng giá 1000 đồng). Số rau thừa mỗi ngày là $20x$ kg, số rau bán tươi là $1000-20x$ kg (với $0\le x\le 50$). Tổng tiền thu được mỗi ngày (nghìn đồng): $$f(x)=(30+x)(1000-20x)+2\cdot 20x=30000+1000x-600x-20x^2+40x=30000+440x-20x^2.$$ $f^{\prime }(x)=440-40x=0\Rightarrow x=11$ (thỏa mãn $0\le x\le 50$), và $f^{\prime \prime }(x)=-40<0$ nên $f$ đạt max tại $x=11$. Vậy giá bán nên là $30+11=41$ nghìn đồng/kg. Kiểm tra: bán tươi $780$ kg giá $41$ nghìn/kg cho $31980$ nghìn, rau thừa $220$ kg giá $2$ nghìn/kg cho $440$ nghìn, tổng $32420$ nghìn, lớn hơn tại $x=10$ ($32400$) và $x=12$ ($32420$... tính lại: $f(12)=30000+5280-2880=32400$; $f(11)=30000+4840-2420=32420$). Xác nhận max tại $x=11$.

Gọi $\phi \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất. Chiều dài thang là $L(\phi )=\frac{2,88}{\sin \phi }+\frac{1,8}{\cos \phi }$. Áp dụng bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số, chiều dài ngắn nhất của thang là $L_{\min }={\left(2,88^{2/3}+1,8^{2/3}\right)}^{3/2}\approx 6,56\text{ m}$.

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ bị cắt là $x$ ($0<x<10$, đơn vị: $\text{cm}$). Thể tích khối hộp là $V(x)=x(20-2x{)}^2$. Ta có $V^{\prime }(x)=(20-2x{)}^2-4x(20-2x)=(20-2x)(20-6x)$. Cho $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=\frac{10}{3}\text{ cm}$ (vì $0<x<10$), tại đó $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất.

Với $0<x<45$, số lượng khách hàng là $S(x)=\sqrt{45-x}$ (nghìn doanh nghiệp).
- Tổng chi phí mỗi tháng: $C(x)=10+3S^2=10+3(45-x)=145-3x$ (tỷ đồng).
- Doanh thu mỗi tháng: $D(x)=x\cdot S(x)=x\sqrt{45-x}$ (tỷ đồng).
- Hàm lợi nhuận ròng: $L(x)=D(x)-C(x)=x\sqrt{45-x}+3x-145$ (tỷ đồng).
Ta có $L^{\prime }(x)=\sqrt{45-x}-\frac{x}{2\sqrt{45-x}}+3=\frac{-3x+90+6\sqrt{45-x}}{2\sqrt{45-x}}$.
Giải $L^{\prime }(x)=0\iff 2\sqrt{45-x}=x-30\iff \{\begin{array}{l}x\ge 30\\ 4(45-x)=(x-30{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 30\\ x^2-56x+720=0\end{array}\iff x=36$.

Dựa vào bảng biến thiên, $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $71$ tỷ đồng khi $x=36$ (triệu đồng).

Gọi $x$ là số lần tăng giá $0,1$ triệu đồng ($x\ge 0$). Doanh thu là $R(x)=(7+0,1x)(120-x)=-0,1x^2+5x+840$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=25$. Khi đó giá thuê mỗi căn hộ là $7+2,5=9,5$ (triệu đồng).

Vì $O(0;0)$ là điểm cực tiểu của $(\mathcal{H})$ nên $f(0)=0\Rightarrow d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Mặt khác $(\mathcal{H})$ đi qua $M(3;0)$ nên $-27+9b=0\Rightarrow b=3$. Vậy $f(x)=-x^3+3x^2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d:y=kx$ và $(\mathcal{H})$ với $x>0$ là $x^2-3x+k=0$ ($0<k<\frac{9}{4}$), có hai nghiệm $x_1<x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=3,x_1{x}_2=k$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S_{MAB}=S_{MOB}-S_{MOA}=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot (y_B-y_A)=\frac{3}{2}k(x_2-x_1)=\frac{3}{2}k\sqrt{9-4k}$.
Xét $g(k)=k^2(9-4k)=9k^2-4k^3$ trên $\left(0;\frac{9}{4}\right)$, có $g^{\prime }(k)=18k-12k^2=0\iff k=\frac{3}{2}$. Khi đó $S_{MAB}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ (đvdt).
Tổng diện tích mảnh vườn là $S={\int }_0^3(-x^3+3x^2)dx=\frac{27}{4}$ (đvdt).
Vì mỗi đơn vị trên trục là $10\text{ m}$ nên $1\text{ đvdt}=100{\text{ m}}^2$. Diện tích phần đất còn lại là $100\cdot \left(\frac{27}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{4}\right)\approx 285{\text{ m}}^2$. Đáp án: 285.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Gọi $x$ là số máy sử dụng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Trong $1$ giờ, $x$ máy sản xuất được $30x$ quả bóng.
Thời gian để sản xuất $8000$ quả bóng là $T=\frac{8000}{30x}=\frac{800}{3x}$ (giờ).
- Ý a: Trong $1$ giờ, $266$ máy sản xuất được $266\cdot 30=7980<8000$ quả bóng, chưa đủ $8000$ quả bóng. Do đó ý a sai.
- Ý b: Trong $T=\frac{8}{3}$ giờ, $100$ máy sản xuất được $100\cdot 30\cdot \frac{8}{3}=8000$ quả bóng. Do đó ý b đúng.
- Ý c & d: Tổng chi phí sản xuất (nghìn đồng) là:
$C(x)=200x+192\cdot T=200x+192\cdot \frac{800}{3x}=200x+\frac{51200}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $C(x)\ge 2\sqrt{200\cdot 51200}=2\cdot 3200=6400$ nghìn đồng ($6,4$ triệu đồng).
Dấu bằng xảy ra khi $200x=\frac{51200}{x}⟺x^2=256⟺x=16$ máy.
Vậy chi phí hoạt động thấp nhất là $6,4$ triệu đồng (ý c sai vì nói $6,5$ triệu đồng) và số máy cần dùng là $16$ máy (ý d đúng).