Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm (Toán học Lớp 12)

Một nhà sản xuất xác định chi phí để tạo ra $x$ đơn vị sản phẩm là $C(x)=1800+25,177x-0,2x^2+0,001x^3$ (triệu đồng) và hàm cầu là $p(x)=48,2-0,03x$ (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu được là

Câu 2: Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho $n$ máy chạy trong một giờ là $10(6n+10)$ nghìn đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng 8 m dây thép để làm các đường viền. Gọi $x,y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ (như hình vẽ).

Biết $BC=4$ km là khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển $AB$; Bờ biển $AB$ có độ dài là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên đất liền là 30 triệu đồng. Người ta xác định được vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ là điểm nối dây từ đất liền ra đảo sao cho tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tính khoảng cách $BM$ (Đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh $3dm$. Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài cạnh bằng $x(dm)$, rồi gập tấm nhôm lại như Hình để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp.



Gọi $V$ là thể tích của khối hộp đó tính theo $x(dm)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là bao nhiêu decimét khối?

Thầy Lộc tham dự giải "Chạy việt dã do Công đoàn ngành Giáo dục Kon Tum năm 2024". Quãng đường thầy Lộc đi được biểu diễn bằng hàm số $s(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$ (với $a\ne 0$) có đồ thị như hình bên dưới (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ, $s$ là quãng đường tính bằng km). Khi đó, vận tốc tối đa của thầy Lộc đạt được là bao nhiêu km/h? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến $C$ và sau đó chạy đến $B$, hay có thể chèo trực tiếp đến $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h, chạy 8 km/h và quãng đường $BC=8$ km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi $x$ (km) là độ dài quãng đường $CD$. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đầy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là $36m^3$, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $4m$, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu $m$ để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $80cm$, người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại như hình sau để được một cái hộp không nắp.

Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $150(cm)$ và thể tích chứa $900\left(m^3\right)$. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng$/m^2$ và làm mặt đáy là 4 triệu đồng$/m^2$. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $\left(1\le x\le 500\right)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+1000+\frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là 30000 đồng/kg thì bán hết rau, mỗi lần tăng giá bán rau 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng 20kg. số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg?

Ông chủ của một ngôi nhà muốn làm một chiếc thang cứu hộ (coi như một đoạn thẳng) để sử dụng khi có nguy hiểm xảy ra. Khi chiếc thang được sử dụng thì một đầu của nó sẽ tiếp đất và một đầu còn lại sẽ đặt vào bức tường của ngôi nhà. Chiếc thang này được thiết kế để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ bên). Hàng rào cao $2,88$ mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng $1,8$ mét. Hỏi chiều dài ngắn nhất của chiếc thang bằng bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Bạn An có một tấm bìa hình vuông cạnh $20\text{ cm}$. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ). Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là

Một công ty công nghệ GigaCloud chuẩn bị ra mắt dịch vụ lưu trữ đám mây cao cấp dành riêng cho các doanh nghiệp lớn. Qua phân tích dữ liệu lớn (Big Data), các chuyên gia kinh tế của công ty xác lập được mô hình cầu như sau: Nếu định giá gói cước hàng tháng là $x$ (triệu đồng) thì số lượng doanh nghiệp đăng ký sử dụng $S$ (nghìn doanh nghiệp) sẽ là $S(x)=\sqrt{45-x}$ (Với điều kiện mức giá $x$ phải nhỏ hơn $45$ triệu đồng). Chi phí vận hành hệ thống của GigaCloud bao gồm hai khoản: Chi phí cố định là $10$ tỷ đồng mỗi tháng (cho cơ sở hạ tầng, nhân sự cốt lõi) và chi phí vận hành. Do đặc thù bảo mật dữ liệu, khi số lượng khách hàng tăng lên thì chi phí băng thông và bảo trì tăng theo cấp số nhân. Cụ thể, chi phí này tỷ lệ thuận với bình phương số lượng khách hàng $C_v=3S^2$ (tỷ đồng). Hãy xác định mức giá cước $x$ mà GigaCloud cần niêm yết để đạt lợi nhuận ròng hàng tháng cao nhất?

Người quản lí của một khu chung cư có $120$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $7$ triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu (triệu đồng) để doanh thu lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 2: Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa $300$ lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất $x$ lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là $35$ nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là $C_b(x)=0,00001x^2$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu $x$ lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt $200$ lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là $C_v(x)=0,00003(x-200{)}^3$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là $60$ nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 4. Một khối gỗ có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $2\text{ dm}$, mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều. Nghệ nhân muốn chế tác khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình hộp chữ nhật với $4$ đỉnh nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$ và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối trang trí này bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và $p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi nhuận.