Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị phân thức (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{3x-1}{x+2}=3-\frac{7}{x+2}$, tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$. Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận: $(-2;3)$. Khớp đáp án nguồn (C).

a) Ta có $y=x-2+\frac{3}{x+1},(x\ne -1)$; $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2},(x\ne -1)$. Hàm số có cực đại, cực tiểu. Đúng.
b) Tiệm cận xiên: $y=x-2$. Đúng.
c) Tiệm cận đúng: $x=-1$; tiệm cận xiên: $y=x-2$. Tọa độ giao điểm các đường tiệm cận: $I(-1;-3)$. Sai.
d) $$y=x-2+\frac{3}{x+1}\in \mathbb{Z}$$ Khi $x+1\in \{-3;-1;1;3\}$. Do đó $(C)$ có 4 điểm có tọa độ nguyên. Sai.
a) Ta có $y=x-2+\frac{3}{x+1},(x\ne -1)$. Do đó $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2},(x\ne -1)$. Hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tiệm cận xiên: $y=x-2$.
c) Tiệm cận đứng: $x=-1$; tiệm cận xiên: $y=x-2$. Tọa độ giao điểm các đường tiệm cận: $I(-1;-3)$.
d) $$y=x-2+\frac{3}{x+1}\in \mathbb{Z}$$ Khi $x+1\in \{-3;-1;1;3\}$. Do đó $(C)$ có 4 điểm có tọa độ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Khảo sát:
- Số biến thiên: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Với $x\ne -1$ thì $(x+1{)}^2>0$ nên $y^{\prime }\ge 0$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
- Trên $(-\infty ;-1)$: hàm số đồng biến, đạt cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=f(-2)=-2+1-1=-2$ (thực chất đây là cực tiểu địa phương trên nhánh).
- Trên $(-1;+\infty )$: hàm số đồng biến, đạt cực đại địa phương tại $x=0$, $y_{CĐ}=f(0)=2$.
- Tiệm cận đứng: $x=-1$ (vì ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$). Tiệm cận xiên: $y=x+1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x+1)]=0$).
- $f(0)=2$ nên đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$; $f(x)=0\iff x^2+2x+2=0$ vô nghiệm nên không cắt trục hoành.
- Bảng biến thiên: trên mỗi nhánh hàm đồng biến; nhánh trái có cực tiểu $(-2;-2)$, nhánh phải có cực đại $(0;2)$.
- Đồ thị: hai nhánh hyperbol với tâm đối xứng $I(-1;1)$, tiệm cận $x=-1$ và $y=x+1$, đi qua các điểm $(-2;-2)$, $(0;2)$, $(1;3)$, $(-3;-3)$.

b) Hai điểm cực trị: $A(-2;-2)$ và $B(0;2)$. Diện tích tam giác $OAB$:
$$S=\frac{1}{2}\left|x_A{y}_B-x_B{y}_A\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(2)-0\cdot (-2)\right|=\frac{1}{2}\cdot 4=2.$$
Vậy diện tích tam giác $OAB$ bằng $2$ (đơn vị diện tích).

c) Đặt $X=x+1$, $Y=y-1$ (tọa độ theo tâm đối xứng $I(-1;1)$), phương trình trở thành $Y=X+\frac{1}{X}$. Hyperbol này đối xứng qua hai đường phân giác $Y=X$ và $Y=-X$ (kiểm tra: đổi $(X,Y)\to (Y,X)$ giữ nguyên phương trình; đổi $(X,Y)\to (-Y,-X)$ cũng giữ nguyên phương trình).
Trở lại tọa độ cũ:
- $Y=X\iff y-1=x+1\iff y=x+2$;
- $Y=-X\iff y-1=-(x+1)\iff y=-x$.
Vậy đồ thị có hai trục đối xứng: $y=x+2$ và $y=-x$, cả hai đều đi qua tâm đối xứng $I(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 7 có tiệm cận đứng $x=-1$ (đường màu xanh) và tiệm cận xiên $y=-x$ (đường màu xanh lá). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên là giao điểm của hai tiệm cận: thay $x=-1$ vào $y=-x$ ta được $y=1$. Vậy tâm đối xứng là $I(-1;1)$, khớp với điểm $I$ đánh dấu trên hình. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$. Mệnh đề đưa ra $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ là sai.

b) Trên tập xác định, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng. Mệnh đề nói hàm tăng là sai.

c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$: đúng. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: đúng. Mệnh đề đúng.

d) Với $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên tập xác định, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x+5}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $x\in (1;2)$: $y^{\prime }<0$; với $x\in (2;3)$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$, tức nghịch biến trên $(1;3)$ (hàm không xác định tại $x=2$ nhưng trên mỗi khoảng nó đều giảm). Đúng.

c) Tại $x=3$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại. Sai.

d) Chia đa thức: $\frac{x^2+x-5}{x-2}=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+3)\right)=0$. Tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$, nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$ (trừ điểm gián đoạn $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.

a) Sai: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. b) Sai: từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. c) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$. d) Sai: TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$; TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$; đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.
a) a) Sai. Đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. Dựa vào hình vẽ, đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$.
b) b) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) c) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$.
d) d) Sai. Tổng $a+b+c=-2$. Đồ thị hàm số có TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$. Đồ thị hàm số có TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 5), đồ thị có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận xiên y = x + 2, nên hàm số có dạng f(x) = x + 2 + a/(x + 2) với a > 0 (nhánh phải tiến tới +∞ khi x → -2⁺, nhánh trái tiến tới -∞ khi x → -2⁻). Đồ thị có điểm cực tiểu tại x = -1 với f(-1) = 2: f(-1) = 1 + a = 2 nên a = 1, tức f(x) = x + 2 + 1/(x + 2). Kiểm tra cực đại: f(-3) = -1 - 1 = -2, khớp đồ thị.
a) Đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-2; 0).
b) Sai: f'(x) = 1 - 1/(x+2)²; f'(x) > 0 khi |x+2| > 1, f'(x) < 0 khi 0 < |x+2| < 1, nên hàm không nghịch biến trên toàn ℝ \ {-2}.
c) Sai: trên [-5; -4] hàm đồng biến nên GTLN tại x = -4: f(-4) = -2 - 1/2 = -2,5 ≠ -2.
d) Sai: cực đại là (-3; -2) và cực tiểu là (-1; 2), không phải cực đại (-1; 3) và cực tiểu (-3; -2).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận xiên y = x + 2 cắt nhau tại I(-2; 0), đây là tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức dạng y = x + 2 + a/(x + 2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với f(x) = x + 2 + 1/(x + 2), ta có f'(x) = 1 - 1/(x+2)². f'(x) > 0 khi |x+2| > 1 và f'(x) < 0 khi 0 < |x+2| < 1, nên hàm số không nghịch biến trên toàn tập ℝ \ {-2}.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên đoạn [-5; -4] hàm số đồng biến (vì |x+2| > 1 nên f'(x) > 0), nên GTLN tại x = -4: f(-4) = -2 + 1/(-2) = -2,5 ≠ -2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) f'(x) = 0 tại x = -3 và x = -1. Vì a = 1 > 0, hàm đạt cực đại tại x = -3: f(-3) = -1 - 1 = -2, tức điểm cực đại là (-3; -2); và đạt cực tiểu tại x = -1: f(-1) = 1 + 1 = 2, tức điểm cực tiểu là (-1; 2). Do đó khẳng định d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(1;2)$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0107, Câu 11: A).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị hàm phân thức có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, tức $I(1;1)$. Vậy chọn đáp án A, khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 2102 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$ → Đúng.
b) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;3)$ → Đúng.
c) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$: trên $(-\infty ;0)$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng thời tăng), trên $(0;1)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(1;2)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(2;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$. Bảng biến thiên trong đề cho $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(1;2)$ là sai → Khẳng định Sai.
d) Cực tiểu $A(0;1)$ (vì $y(0)=1$), cực đại $B(2;5)$ (vì $y(2)=5$). Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{5-1}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+1$ hay $2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$: $I(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ dương trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, âm trên $(0;1)$ và $(1;2)$; bảng trong đề sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;1)$, $B(2;5)$, đường $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{1-x}$. Viết lại: $y=\frac{-3(1-x)+5}{1-x}=-3+\frac{5}{1-x}$. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=a+\frac{b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-3$. Vậy tâm đối xứng là điểm $P(1;-3)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;10)$, $B(10;0)$ (tiếp xúc trục $Ox$), $C(15;1)$. Với $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$:
- $f(0)=10\Rightarrow \frac{c}{d}=10\Rightarrow c=10d$.
- $f(10)=0\Rightarrow 100a+10b+c=0$.
- Tiếp xúc tại $B$: $f^{\prime }(10)=0$. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}$ và $f(10)=0$ nên $(20a+b)(10+d)=0\Rightarrow b=-20a$.
- Suy ra $100a-200a+c=0\Rightarrow c=100a\Rightarrow d=10a$.
- $f(15)=1$: $\frac{225a+15b+c}{15+d}=\frac{25a}{15+10a}=1\Rightarrow 25a=15+10a\Rightarrow a=1$.
Vậy $f(x)=\frac{(x-10{)}^2}{x+10}$. Khi cách vị trí ban đầu theo phương ngang 6 m: $f(6)=\frac{16}{16}=1$. Bạn Việt cách mặt đất 1 mét.

a) Đúng: Điều kiện xác định $2x+1\ne 0\iff x\ne -\frac{1}{2}$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-2)\cdot 2}{(2x+1{)}^2}=\frac{5}{(2x+1{)}^2}$.
c) Sai: Tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$.
d) Đúng: Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$, đi qua $(2;0)$ và $(0;-2)$ đúng như hình vẽ.

Cho $y=0\iff \frac{x+5}{x+1}=0\iff x=-5$.

Từ bảng biến thiên, ta có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=2c$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{ad+2c}{(cx+d{)}^2}=\frac{2c(-c)+2c}{(cx+d{)}^2}=\frac{-2c^2+2c}{(cx+d{)}^2}$. Hàm số đồng biến nên $-2c^2+2c>0\iff 0<c<1$ nếu mẫu khác dấu hoặc tương ứng hệ số. Với điều kiện xác định và $c$ là số nguyên âm, giá trị nguyên âm lớn nhất là $c=-1$. Chọn B.

Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=3$, do đó tâm đối xứng là $I(-1;3)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án B.

Giao điểm của đường tiệm cận đứng $x=2$ và đường tiệm cận ngang $y=-1$ là tâm đối xứng $I(2;-1)$.