Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x+5}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $x\in (1;2)$: $y^{\prime }<0$; với $x\in (2;3)$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$, tức nghịch biến trên $(1;3)$ (hàm không xác định tại $x=2$ nhưng trên mỗi khoảng nó đều giảm). Đúng.

c) Tại $x=3$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại. Sai.

d) Chia đa thức: $\frac{x^2+x-5}{x-2}=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+3)\right)=0$. Tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$, nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$ (trừ điểm gián đoạn $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.