Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, tam giác ABC có cạnh 2(cm), cạnh bên SB bằng 3(cm). Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.



Biết vecto đơn vị trên trục có độ dài là 1(cm). Điểm O là trung điểm $BC$. Biết $\overrightarrow{AS}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Tính $S=x^2+y^2+z^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O là trung điểm BC, trục Ox theo hướng OC, trục Oy theo hướng OA, Oz vuông góc mặt đáy. Tam giác ABC đều cạnh 2 nên OB = OC = 1, OA = √3. Trọng tâm H của tam giác ABC nằm trên OA với OH = OA/3 = √3/3, và HB = 2√3/3. Vì S.ABC đều nên S nằm trên đường thẳng qua H vuông góc đáy: SH² = SB² − HB² = 9 − 4/3 = 23/3, tức SH = √(23/3). Tọa độ: A(0; √3; 0), S(0; √3/3; √(23/3)). Suy ra AS = (0; −2√3/3; √(23/3)), nên x = 0, y = −2√3/3, z = √(23/3). Khi đó S = x² + y² + z² = 0 + 4/3 + 23/3 = 9. (Kiểm tra: |AS| = SA = 3 đúng vì SA là cạnh bên.)