Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của hàm số trên, tính diện tích của tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc tọa độ)

c) Tìm phương trình trục đối xứng của đồ thị hàm số trên

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Khảo sát:
- Số biến thiên: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Với $x\ne -1$ thì $(x+1{)}^2>0$ nên $y^{\prime }\ge 0$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
- Trên $(-\infty ;-1)$: hàm số đồng biến, đạt cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=f(-2)=-2+1-1=-2$ (thực chất đây là cực tiểu địa phương trên nhánh).
- Trên $(-1;+\infty )$: hàm số đồng biến, đạt cực đại địa phương tại $x=0$, $y_{CĐ}=f(0)=2$.
- Tiệm cận đứng: $x=-1$ (vì ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$). Tiệm cận xiên: $y=x+1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x+1)]=0$).
- $f(0)=2$ nên đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$; $f(x)=0\iff x^2+2x+2=0$ vô nghiệm nên không cắt trục hoành.
- Bảng biến thiên: trên mỗi nhánh hàm đồng biến; nhánh trái có cực tiểu $(-2;-2)$, nhánh phải có cực đại $(0;2)$.
- Đồ thị: hai nhánh hyperbol với tâm đối xứng $I(-1;1)$, tiệm cận $x=-1$ và $y=x+1$, đi qua các điểm $(-2;-2)$, $(0;2)$, $(1;3)$, $(-3;-3)$.

b) Hai điểm cực trị: $A(-2;-2)$ và $B(0;2)$. Diện tích tam giác $OAB$:
$$S=\frac{1}{2}\left|x_A{y}_B-x_B{y}_A\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(2)-0\cdot (-2)\right|=\frac{1}{2}\cdot 4=2.$$
Vậy diện tích tam giác $OAB$ bằng $2$ (đơn vị diện tích).

c) Đặt $X=x+1$, $Y=y-1$ (tọa độ theo tâm đối xứng $I(-1;1)$), phương trình trở thành $Y=X+\frac{1}{X}$. Hyperbol này đối xứng qua hai đường phân giác $Y=X$ và $Y=-X$ (kiểm tra: đổi $(X,Y)\to (Y,X)$ giữ nguyên phương trình; đổi $(X,Y)\to (-Y,-X)$ cũng giữ nguyên phương trình).
Trở lại tọa độ cũ:
- $Y=X\iff y-1=x+1\iff y=x+2$;
- $Y=-X\iff y-1=-(x+1)\iff y=-x$.
Vậy đồ thị có hai trục đối xứng: $y=x+2$ và $y=-x$, cả hai đều đi qua tâm đối xứng $I(-1;1)$.