(1 điểm) Cho hàm số $f(x)=\ln \left(e^{\frac{x}{1013}}+e\right)$. Tính giá trị của biểu thức

$$T=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+.........+f^{\prime }(2025)$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1013}\cdot \frac{e^{x/1013}}{e^{x/1013}+e}$. Xét cặp đối xứng: đặt $a=e^{x/1013}$ thì $e^{(2026-x)/1013}=e^{2-x/1013}=\frac{e^2}{a}$, nên $f^{\prime }(2026-x)=\frac{1}{1013}\cdot \frac{e^2/a}{e^2/a+e}=\frac{1}{1013}\cdot \frac{e}{a+e}$. Do đó $f^{\prime }(x)+f^{\prime }(2026-x)=\frac{1}{1013}\cdot \frac{a+e}{a+e}=\frac{1}{1013}$. Trong tổng $T={\sum }_{k=1}^{2025}{f}^{\prime }(k)$, ghép $1012$ cặp $(k,2026-k)$ với $k=1,\dots ,1012$, mỗi cặp cho $\frac{1}{1013}$; số giữa là $f^{\prime }(1013)=\frac{1}{1013}\cdot \frac{e}{e+e}=\frac{1}{2\cdot 1013}$. Vậy $T=\frac{1012}{1013}+\frac{1}{2\cdot 1013}=\frac{2024+1}{2026}=\frac{2025}{2026}$. Kiểm tra lại: $1012\cdot 2+1=2025$ số hạng, đúng.