(2 điểm) Ba cầu thủ đá penalty, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x,y$ và $0,6$ (với $x>y$). Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất ghi bàn của ba cầu thủ lần lượt là $x,y,0,6$ với $x>y$, các lần đá độc lập.

Xác suất cả ba đều ghi bàn:
$$P(\text{cả ba})=0,6xy=0,336\Rightarrow xy=0,56.$$

Xác suất ít nhất một người ghi bàn:
$$P=1-(1-x)(1-y)(1-0,6)=0,976\Rightarrow (1-x)(1-y)(0,4)=0,024\Rightarrow (1-x)(1-y)=0,06.$$

Suy ra $1-(x+y)+xy=0,06\Rightarrow x+y=1+0,56-0,06=1,5$.

Vậy $x,y$ là nghiệm của $t^2-1,5t+0,56=0$, có $\Delta =2,25-2,24=0,01$, nên $t=\frac{1,5\pm 0,1}{2}$, tức $t\in \{0,8;0,7\}$. Vì $x>y$ nên $x=0,8$, $y=0,7$.

Xác suất có đúng hai cầu thủ ghi bàn:
$$P_2=xy(0,4)+0,6\cdot x(1-y)+0,6\cdot y(1-x)$$
$$=0,8\cdot 0,7\cdot 0,4+0,6\cdot 0,8\cdot 0,3+0,6\cdot 0,7\cdot 0,2=0,224+0,144+0,084=0,452.$$

Kiểm tra lại: $P_2=xy(0,4)+0,6(x+y-2xy)=0,224+0,6(1,5-1,12)=0,224+0,228=0,452$.

Vậy xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn là $0,452$.