a) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{2}$ và độ dài cạnh $B{A}^{\prime }=\sqrt{6}$. Hãy tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$, $B^{\prime }C$?

b) Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3a: Đáy ABC đều cạnh √2 nên $S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì lăng trụ đứng, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $B{A}^{\prime 2}=A{B}^2+A{A}^{\prime 2}\Rightarrow A{A}^{\prime }=\sqrt{6-2}=2$. Thể tích $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa A'B và B'C: chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{2};0;0)$, $C(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}}{2};0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(\sqrt{2};0;2)$. ${\vec{u}}_{A^{\prime }B}=(\sqrt{2};0;-2)$, ${\vec{u}}_{B^{\prime }C}=(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}}{2};-2)$, $\vec{u}\times \vec{v}=(\sqrt{6};3\sqrt{2};\sqrt{3})$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{6+18+3}=3\sqrt{3}$. Lấy $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(\sqrt{2};0;2)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Vậy $d(A^{\prime }B,B^{\prime }C)=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{3}$.
Câu 3b: Đặt $a=OA$, $b=OB$, $c=OC$. Vì $M$ trong tam giác ABC, viết $\overrightarrow{OM}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$, $\alpha ,\beta ,\gamma >0$. Do OA, OB, OC đôi một vuông góc:
$M{A}^2=a^2(1-\alpha {)}^2+b^2{\beta }^2+c^2{\gamma }^2$, và tương tự cho $M{B}^2,M{C}^2$. Chia lần lượt cho $a^2,b^2,c^2$ rồi cộng:
$$T=(1-\alpha {)}^2+(1-\beta {)}^2+(1-\gamma {)}^2+{\alpha }^2(1+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2})+{\beta }^2(1+\frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2})+{\gamma }^2(1+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}).$$
Vì $(1-\alpha {)}^2+(1-\beta {)}^2+(1-\gamma {)}^2=3-2(\alpha +\beta +\gamma )+({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)=1+{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$, gom lại:
$$T=1+(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})({\alpha }^2{a}^2+{\beta }^2{b}^2+{\gamma }^2{c}^2).$$
Theo Cauchy–Schwarz: $({\alpha }^2{a}^2+{\beta }^2{b}^2+{\gamma }^2{c}^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge (\alpha +\beta +\gamma {)}^2=1$, nên $T\ge 2$. Dấu bằng khi $\alpha a:\beta b:\gamma c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$, tức $\alpha :\beta :\gamma =\frac{1}{a^2}:\frac{1}{b^2}:\frac{1}{c^2}$, cụ thể $\alpha =\frac{1/a^2}{1/a^2+1/b^2+1/c^2}$, v.v. Khi đó M là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC), thuộc miền trong tam giác ABC vì các hệ số đều dương. Vậy $\min T=2$.