a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x+{\cos }^{2}x$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$

c) Anh Tùng muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng) với lãi suất $0,75\%$ / tháng. Hỏi hàng tháng anh Tùng phải trả số tiền là bao nhiêu để sau đúng hai năm thì trả hết nợ ngân hàng?

b) Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ



Hỏi hàm số $g(x)=f(f(x)-1)-3$ có bao nhiêu điểm cực đại?

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^{\prime }=1-\sin 2x$. Trên $(0;\frac{\pi }{4})$ có $\sin 2x<1$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$. Do đó $\min y=y(0)=0+{\cos }^{2}0=1$; $\max y=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}+{\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}$.

b) Từ đồ thị: $f$ đạt cực tiểu tại $x=a\approx 0,5$ với giá trị $m\approx -0,5<0$, đạt cực đại tại $x=b\approx 1,5$ với giá trị $M\approx 0,5$ (và $M<1=f(0)$). Xét $g(x)=f(f(x)-1)-3$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x)-1)\cdot f^{\prime }(x)$.
- $f^{\prime }(x)=0\iff x=a$ hoặc $x=b$.
- $f^{\prime }(f(x)-1)=0\iff f(x)-1\in \{a;b\}\iff f(x)=1+a$ hoặc $f(x)=1+b$. Vì $1+a\approx 1,5$ và $1+b\approx 2,5$ đều lớn hơn giá trị cực đại $M\approx 0,5$ của $f$, mỗi phương trình có đúng một nghiệm $\alpha <\beta <0$ (trên nhánh giảm bên trái).

Xét dấu $g^{\prime }$:
• Tại $x=\alpha$: khi $x$ tăng qua $\alpha$ (trên nhánh giảm của $f$), $u=f(x)-1$ giảm qua $a$ nên $f^{\prime }(u)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$; mà $f^{\prime }(x)<0$ nên $g^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$: điểm cực đại.
• Tại $x=\beta$: tương tự, $u$ giảm qua $b$, $f^{\prime }(u)$ đổi từ $-$ sang $+$, nhân với $f^{\prime }(x)<0$ cho $g^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$: điểm cực tiểu.
• Tại $x=a$: $f^{\prime }(x)$ đổi từ $-$ sang $+$; còn $u=f(a)-1=m-1\approx -1,5<a$ nên $f^{\prime }(u)>0$: $g^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$: cực tiểu.
• Tại $x=b$: $f^{\prime }(x)$ đổi từ $+$ sang $-$; $u=f(b)-1=M-1\approx -0,5<a$ nên $f^{\prime }(u)>0$: $g^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$: điểm cực đại.

Vậy $g(x)$ có 2 điểm cực đại.

c) Vay $200$ triệu, lãi $0,75\%$/tháng $=0,0075$, trả đều cuối tháng trong $24$ tháng. Gọi $A$ là số tiền trả mỗi tháng, thì
$$200=A\cdot \frac{1-(1,0075{)}^{-24}}{0,0075}\Rightarrow A=\frac{200\cdot 0,0075\cdot (1,0075{)}^{24}}{(1,0075{)}^{24}-1}.$$
Tính $(1,0075{)}^{24}\approx 1,196419$, nên
$$A\approx \frac{1,5\cdot 1,196419}{0,196419}\approx 9,1364\text{ triệu đoˆˋng}.$$
Vậy hàng tháng anh Tùng phải trả khoảng $9,14$ triệu đồng (chính xác hơn: $\frac{1,5\cdot (1,0075{)}^{24}}{(1,0075{)}^{24}-1}$ triệu đồng).