Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN GTNN trên đoạn hoặc miền (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y=(x^2-1{)}^2$. Trên $[0;2]$, hàm đạt giá trị nhỏ nhất $0$ tại $x=1$ và tăng dần trên $[1;2]$, nên giá trị lớn nhất tại đầu mút: $y(0)=1$, $y(2)=16-8+1=9$. Vậy GTLN bằng $9$.

(AI giải đề cho tôi)
Khớp đáp án nguồn (bảng đáp án, mã đề 102, câu 13): DSDD. a) Đúng: $f(0)=2\sin 0-0=0$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cdot 1-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}$. b) Sai: $f^{\prime }(x)=2\cos x-1$, không phải $-2\cos x-1$. c) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff 2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$; trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ nghiệm duy nhất là $x=\frac{\pi }{3}$. d) Đúng: so sánh $f(0)=0$, $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,68$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-\frac{\pi }{2}\approx 0,43$; hơn nữa $f^{\prime }(x)>0$ trên $\left[0;\frac{\pi }{3}\right)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right]$ nên GTLN là $\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(0)=0$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-\frac{\pi }{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=2\cos x-1\ne -2\cos x-1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos x=\frac{1}{2}$ trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ cho $x=\frac{\pi }{3}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,68$ lớn hơn $f(0)=0$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)\approx 0,43$; dấu đạo hàm xác nhận đây là GTLN. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4x(x^2-5)$. Trên đoạn $[-1;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ (vì $x=\pm \sqrt{5}\approx \pm 2,236$ nằm ngoài đoạn). Tính: $f(-1)=1-10+2=-7$; $f(0)=2$; $f(2)=16-40+2=-22$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-22$ tại $x=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-3x$ liên tục trên $[0;2]$. $f^{\prime }(x)=2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Tính: $f(0)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}=-\frac{9}{4}$, $f(2)=4-6=-2$. So sánh: ${\max }_{[0;2]}f(x)=0$ tại $x=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, hàm số thành $g(t)=t^2-2t-2=(t-1{)}^2-3$ với $t\ge 0$. a) Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$; khẳng định sai. b) $\min y=g(1)=-3$ đạt tại $x=\pm 1$; khẳng định đúng. c) Tập giá trị là $[-3;+\infty )$; khẳng định đúng. d) Trên $[0;1]$: $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\le 0$ nên hàm nghịch biến; $\max y=y(0)=-2$ tại $A(0;-2)$, $\min y=y(1)=-3$ tại $B(1;-3)$. Độ dài $AB=\sqrt{(1-0{)}^2+(-3+2{)}^2}=\sqrt{2}$; khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, $g(t)=(t-1{)}^2-3$ đạt nhỏ nhất bằng $-3$ tại $t=1$ tức $x=\pm 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\min y=-3$ và $y\to +\infty$, tập giá trị là $[-3;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$ hàm nghịch biến: $A(0;-2)$, $B(1;-3)$, nên $AB=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ (trừ $x=-1$ là điểm không xác định của đạo hàm, hàm vẫn giảm), $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$.
- A sai: trên $[-1;1]$ hàm giảm trên $[-1;0]$ rồi tăng trên $[0;1]$ nên $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất, không phải lớn nhất; max đạt tại $f(-1)$ hoặc $f(1)$.
- B đúng: trên $(0;+\infty )$ hàm tăng trên $(0;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$, nên max đạt tại $x=1$: $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$.
- C sai: trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến, khoảng mở nên không đạt max (chỉ có supremum).
- D sai: trên $(0;1)$ hàm đồng biến, khoảng mở nên không đạt max.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ vì $x+1\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;3]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Kiểm tra: $y(3)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $M=3$ (đạt tại $x=3$), giá trị nhỏ nhất là $m=-2$ (đạt tại $x=2$). Do đó $M-m=3-(-2)=5$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2}{x-2}$ xác định trên $(2;6]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(2;6]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=4$; với $x\in (2;4)$ thì $y^{\prime }<0$, với $x\in (4;6]$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $y(4)=\frac{16}{2}=8$. So sánh với $y(6)=\frac{36}{4}=9$, ta được $\underset{(2;6]}{\min }y=8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 2: C).

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-4x+1=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$ (0,25 điểm).

$f(-1)=-10;f(1)=-6;f(1/3)=-158/27$ (0,25 điểm).

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }f(x)=-\frac{158}{27}$ và $\underset{[-1;1]}{\min }f(x)=-10$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đầu mút trái $x=-2$ với $f(-2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị, thấp hơn cả điểm cực tiểu $f(1)=-2$). Giá trị lớn nhất là $f(2)=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là $-4$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ xác định trên $[0;1]$ vì $2x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;1]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)-2(x-1)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;1]$, nên hàm số đồng biến trên $[0;1]$. Do đó $\underset{[0;1]}{\min }y=y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $\underset{[0;1]}{\max }y=y(1)=\frac{0}{3}=0$. Vậy khẳng định đúng là $\underset{[0;1]}{\max }y=0$, tức đáp án A (khớp với đáp án nguồn, mã đề 1701, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, trên đoạn $[0;9]$ hàm số giảm từ $f(0)=3$ đến $f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{-37}{4}$ rồi tăng đến $f(9)=21$. So sánh các giá trị: $\frac{-37}{4}=-9,25<3<21$, nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;9]$ là $\frac{-37}{4}$, đạt tại $x=\frac{7}{2}$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-24=0\iff x=\pm 2\sqrt{2}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có điểm $x=2\sqrt{2}$. Tính: $y(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2}{)}^3-24\cdot 2\sqrt{2}+1=16\sqrt{2}-48\sqrt{2}+1=1-32\sqrt{2}\approx -44,3$; $y(19)=6859-456+1=6404$. So sánh, giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[2;19]$ là $1-32\sqrt{2}$, ứng với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$ với $y(1)=1-3+2=0$. Tính giá trị tại các điểm: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên $[0;3]$ là $20$, đạt tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=f(4)=6$ (điểm cuối bên phải của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=1$ (điểm cực tiểu tại $x=2$). Do đó $M+2m=6+2\cdot 1=8$. Vậy chọn đáp án D.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x$. Cho $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0(loại)\\ x=4\end{array}$. Tính $y(2)=16$ ; $y(4)=0$ ; $y(6)=32$. Kết luận được gtln, gtnn và tính đúng $2M-3m=64$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-x^2+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Tính giá trị tại các điểm nghiêm túc và hai đầu đoạn: $y(0)=2$; $y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{4}$; $y(3)=81-9+2=74$. Vậy giá trị lớn nhất là $74$, đạt tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=4$) và giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại $x=3$). Vậy $M-m=3-(-2)=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$ (AM-GM), dấu bằng khi $x=2\in (0;+\infty )$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0;+\infty )$ là $4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 2061, Phần 3, Câu 1: 4).