Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN GTNN trên đoạn hoặc miền (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$ với $y(1)=1-3+2=0$. Tính giá trị tại các điểm: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên $[0;3]$ là $20$, đạt tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=f(4)=6$ (điểm cuối bên phải của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=1$ (điểm cực tiểu tại $x=2$). Do đó $M+2m=6+2\cdot 1=8$. Vậy chọn đáp án D.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x$. Cho $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0(loại)\\ x=4\end{array}$. Tính $y(2)=16$ ; $y(4)=0$ ; $y(6)=32$. Kết luận được gtln, gtnn và tính đúng $2M-3m=64$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-x^2+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Tính giá trị tại các điểm nghiêm túc và hai đầu đoạn: $y(0)=2$; $y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{4}$; $y(3)=81-9+2=74$. Vậy giá trị lớn nhất là $74$, đạt tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=4$) và giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại $x=3$). Vậy $M-m=3-(-2)=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$ (AM-GM), dấu bằng khi $x=2\in (0;+\infty )$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0;+\infty )$ là $4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 2061, Phần 3, Câu 1: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba đi lên: $f(0)=-4$ (cực tiểu), $f(2)=0$ (cực đại, tiếp xúc trục hoành), $f(1)=-2$, $f(3)=-4$. a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất là $y=-4$ tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn) nên $m=-4$ → đúng. b) Trên $[1;3]$, hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ nên $M=0\ne -2$ → sai. c) $M+m=0+(-4)=-4$ → đúng. d) Trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$, đồ thị tại $x=-1$ nằm phía trên trục hoành nên $f(-1)>0$, do đó $\max f>f(2)=0$ và giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, khác $0$ → sai.
a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất của đồ thị là $y=-4$ đạt tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn), nên $m=-4$.
b) Trên $[1;3]$, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ (tiếp xúc trục hoành), nên $M=0$, không phải $-2$ ($f(1)=-2$ chỉ là giá trị tại đầu đoạn).
c) Vì $M=0$ và $m=-4$ nên $M+m=-4$.
d) Trên $[-1;+\infty )$, theo đồ thị $f(-1)>0$ nên giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên nửa khoảng này lớn hơn $f(2)=0$. Do đó giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, chắc chắn khác $0$; mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2+m$, $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$: cực đại tại $x=0$ giá trị $m$, cực tiểu tại $x=2$ giá trị $m-4$; $g$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$.

a) Đúng. Đồ thị $g$ luôn cắt trục hoành khi $g$ có cả giá trị âm và dương, tức $m-4\le 0\le m\iff 0\le m\le 4$. Khi đó tồn tại $x$ với $g(x)=0$ nên $\min \left|g(x)\right|=0$.

b) Đúng. Với $m=2$, trên $[3;5]$ (nằm trong miền $x>2$) hàm $g$ đồng biến, $g(3)=27-27+2=2$, $g(5)=125-75+2=52$. Trên đoạn này $g(x)\ge 2>0$ nên $\min \left|g\right|=g(3)=2$.

c) Sai. Với $m<0$, trên $[0;1]$ có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên $g$ nghịch biến; $g(0)=m$, $g(1)=m-2$, cả hai đều âm. Do đó $\left|g\right|=-g$ đồng biến, max tại $x=0$ bằng $-m>0$, không thể bằng $m<0$.

d) Sai. Trên $[-2;2]$: $g$ tăng trên $[-2;0]$, giảm trên $[0;2]$, nên max $g=m$ (tại $x=0$), min $g=\min (g(-2),g(2))=\min (m-20,m-4)=m-20$. Xét $\min |g|=10$:
- Nếu $m\ge 20$: $\min |g|=m-20=10\Rightarrow m=30$ (thỏa).
- Nếu $m\le 0$: $\min |g|=-m=10\Rightarrow m=-10$ (thỏa).
- Nếu $0<m<20$: $g(0)=m>0$, $g(-2)=m-20<0$ nên $\min |g|=0\ne 10$, loại.
Vậy $m=30$ hoặc $m=-10$, tổng $m=20\ne 30$ → khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị luôn cắt trục hoành khi $m-4\le 0\le m$, tức $0\le m\le 4$; khi đó có nghiệm $g(x)=0$ nên $\min |g|=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $g$ đồng biến trên $[3;5]$, $g(3)=2$, $g(5)=52$, đều dương nên $\min |g|=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, $g$ nghịch biến trên $[0;1]$, $g(0)=m$, $g(1)=m-2$ đều âm nên max $|g|=-m>0$, không bằng $m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$: max $g=m$, min $g=m-20$. $\min |g|=10$ cho $m=30$ hoặc $m=-10$; tổng bằng 20, không phải 30.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f tăng trên (−∞;−2), giảm trên (−2;0), tăng trên (0;2), giảm trên (2;+∞); f(−2)=f(2)=4, f(0)=0, f(x)→−∞ khi x→±∞.
a) Trên [0;2] hàm tăng từ f(0)=0 đến f(2)=4 nên max = 4. Đúng.
b) Vì f(x)→−∞ khi x→±∞ nên hàm không có GTLN cũng không có GTNN trên ℝ. Sai.
c) GTLN 4 đạt tại x=−2 và x=2, không tại x=0 (f(0)=0 là điểm cực tiểu). Sai.
d) Với x∈(−2;2) thì f(x)∈(0;4) (không đạt 0 và 4 vì hai đầu mút loại). Khi đó f(f(x)) với f(x)∈(0;4): trên (0;2] f tăng từ 0 đến 4, trên (2;4) f giảm từ 4 xuống f(4)<4. Giá trị 4 đạt được khi f(x)=2 (có nghiệm trong (0;2)), nên max_{(−2;2)} f(f(x)) = 4 tồn tại. Do đó khẳng định 'không tồn tại GTLN' sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;2] hàm số đồng biến từ f(0)=0 đến f(2)=4 nên max_{[0;2]} f(x)=4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(x)→−∞ khi x→±∞, hàm số không có GTLN và không có GTNN trên ℝ.
c) (AI giải đề cho tôi)
GTLN bằng 4 đạt tại x=−2 và x=2; tại x=0 hàm đạt cực tiểu bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x∈(−2;2) có f(x)∈(0;4). Khi f(x)∈(0;4), f(f(x)) đạt giá trị 4 khi f(x)=2 (nghiệm thuộc (0;2)), nên GTLN = 4 tồn tại; khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+2$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ (và $x=1$ là điểm cực tiểu) nên ${\min }_{[0;1]}y=0$. Đúng.
b) Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$. Sai.
c) Trên $[-1;0]$: $y(-1)=4$, $y(0)=2$ nên ${\min }_{[-1;0]}y=2$. Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\max }_{[0;1]}y=2$. Tổng $=2+2=4$. Đúng.
d) Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=-\frac{27}{8}+\frac{9}{2}+2=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}+2=\frac{27}{8}$. Vậy $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\min }_{[0;1]}y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{[-1;0]}y=2$ (tại $x=0$) và ${\max }_{[0;1]}y=2$ (tại $x=0$), tổng bằng 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=\frac{27}{8}$ nên $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$.

Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu $x=2$ với ${\min }_{[-1;3]}f(x)=f(2)=-2$.

Chọn B.
Quan sát bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại $x=2$ với ${\max }_{[-1;3]}f(x)=5$.

Chọn C.
Bất phương trình tương đương $4x+6y-7\ge x^2+y^2+2\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 4$.
Tập hợp các điểm $(x;y)$ là hình tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $R=2$.
Biểu thức $M=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116=d^2-116$, với $d$ là khoảng cách từ điểm $K(10;-4)$ đến điểm $(x;y)$ thuộc hình tròn.
Khoảng cách $IK=\sqrt{(10-2{)}^2+(-4-3{)}^2}=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}$.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $d$ là $d_{\max }=\sqrt{113}+2,d_{\min }=\sqrt{113}-2$.
Tính khoảng giá trị của $M$:
$M_{\min }=(\sqrt{113}-2{)}^2-116=113-4\sqrt{113}+4-116=1-4\sqrt{113}\approx -41,52$.
$M_{\max }=(\sqrt{113}+2{)}^2-116=113+4\sqrt{113}+4-116=1+4\sqrt{113}\approx 43,52$.
Các giá trị nguyên của $M$ thuộc $[-41;43]$. Số giá trị nguyên là $43-(-41)+1=85$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Với $a\ge b>1$, đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $1<b\le a$ nên $0<t\le 1$.
Ta biến đổi biểu thức $P$:
$${\log }_{ab}a=\frac{1}{{\log }_a(ab)}=\frac{1}{1+{\log }_{a}b}=\frac{1}{1+t}⟹\frac{1}{{\log }_{ab}a}=1+t.$$
Và:
$${\log }_a\frac{a}{b}={\log }_{a}a-{\log }_{a}b=1-t.$$
Khi đó:
$$P=1+t+\sqrt{1-t},t\in (0;1].$$
Xét hàm số $f(t)=1+t+\sqrt{1-t}$ trên $(0;1]$:
$$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}.$$
$$f^{\prime }(t)=0⟺2\sqrt{1-t}=1⟺1-t=\frac{1}{4}⟺t=\frac{3}{4}\in (0;1].$$
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{3}{4}$.
Khi đó $b=a^t=a^{3/4}⟹k=\frac{3}{4}$.
Vì $\frac{3}{4}\in (0;1)$, ta chọn đáp án A.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$ (đều thuộc $[-4;3]$).
Tính các giá trị: $f(-4)=13$, $f(-3)=20$, $f(1)=-12$, $f(3)=20$.
Suy ra $M={\max }_{[-4;3]}f(x)=20$ và $m={\min }_{[-4;3]}f(x)=-12$.
Vậy $M-m=20-(-12)=32$.
Chọn B.

Chọn B.
Hàm số liên tục trên đoạn $[1;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-16x+16$.
Cho $y^{\prime }=0\iff (3x-4)(x-4)=0\iff x=\frac{4}{3}$ (nhận vì thuộc $[1;3]$) hoặc $x=4$ (loại).
Tính các giá trị:
$$f(1)=0,f(3)=-6,f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{13}{27}.$$
Vậy ${\max }_{[1;3]}f(x)=\frac{13}{27}$.

Chọn B.
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2+6x=6x(x+1)$.
$f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\in [-1;1]\\ x=-1\in [-1;1]\end{array}\right]$.
Tính giá trị tại các điểm:
$f(-1)=0$, $f(0)=-1$, $f(1)=4$.
Do đó giá trị lớn nhất là $M=4$, giá trị nhỏ nhất là $m=-1$.
Tổng cần tìm: $M+m=4+(-1)=3$.

Chọn B.
Đặt $t=x+1$. Với $x\in [-3;1]$ thì $t\in [-2;2]$.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-2;2]$.
Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-2;2]$:
Điểm thấp nhất của đồ thị đạt tại điểm cực tiểu $(1;-4)$, có tung độ bằng $-4$.
Vậy giá trị nhỏ nhất là $-4$.

1 1 1
Ta có P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 = + + .
ab 1 + log 2 a 1 + log 2 b 2 - log 2 a - log 2 b
x = log 2 a x, y \ge 0 1 1 1 2+ x+ y 1
Đặt ta được và P = + + = + .
y = log 2 b x + y \le 1 1 + x 1 + y 2 - x - y 1 + x + y + xy 2 - x - y
2+ x+ y 2+ x+ y 2+ x+ y 1 2+t 1
Vì xy \ge 0 nên \le suy ra P \le + = + = g ( t ) với
1 + x + y + xy 1 + x + y 1+ x + y 2 - x - y 1+ t 2 - t
t = x + y, 0 \le t \le 1 .
1 1 1 5 (1) 7
Ta có g ^\prime ( t ) = - + và g ^\prime ( t ) = 0 \iff t = , đồng thời g ( 0 ) = g (1) = ; g ( ) = .
(1 + t ) ( t - 2 ) (2) 3
2 2
2 2
5 t = 0 a = 2 a = 1 a = 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt được khi \iff   .
2 t = 1 b = 1 b = 2 b = 1

Xét $f(x)=x^3-2x^2+x-2$ trên đoạn $[0;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Cả hai điểm đều thuộc $[0;2]$. Tính giá trị: $f(0)=-2,f(2)=0,f(1)=-2,f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{50}{27}$. Giá trị lớn nhất là ${\max }_{[0;2]}f(x)=f(2)=0$.