Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a\ge b>1$. Biết rằng biểu thức $P=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\sqrt{{\log }_a\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b=a^k$. Khi đó $k$ thuộc khoảng nào sau đây:

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Với $a\ge b>1$, đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $1<b\le a$ nên $0<t\le 1$.
Ta biến đổi biểu thức $P$:
$${\log }_{ab}a=\frac{1}{{\log }_a(ab)}=\frac{1}{1+{\log }_{a}b}=\frac{1}{1+t}⟹\frac{1}{{\log }_{ab}a}=1+t.$$
Và:
$${\log }_a\frac{a}{b}={\log }_{a}a-{\log }_{a}b=1-t.$$
Khi đó:
$$P=1+t+\sqrt{1-t},t\in (0;1].$$
Xét hàm số $f(t)=1+t+\sqrt{1-t}$ trên $(0;1]$:
$$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}.$$
$$f^{\prime }(t)=0⟺2\sqrt{1-t}=1⟺1-t=\frac{1}{4}⟺t=\frac{3}{4}\in (0;1].$$
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{3}{4}$.
Khi đó $b=a^t=a^{3/4}⟹k=\frac{3}{4}$.
Vì $\frac{3}{4}\in (0;1)$, ta chọn đáp án A.