Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Biến đổi đồ thị và nhận dạng hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=1$ và cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-3$. Suy ra $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=\pm 1$, nên tổng nghiệm $-\frac{2b}{3a}=0\Rightarrow b=0$, và tích nghiệm $\frac{c}{3a}=-1\Rightarrow c=-3a$.
Điều kiện giá trị: $f(-1)=-a-c+d=1$ và $f(1)=a+c+d=-3$. Cộng: $2d=-2\Rightarrow d=-1$. Trừ: $-2a-2c=4\Rightarrow a+c=-2$; kết hợp $c=-3a$ suy ra $a=1$, $c=-3$.
Vậy $f(x)=x^3-3x-1$ (kiểm tra: $f(-1)=1$, $f(1)=-3$, đồ thị cắt trục hoành tại $x\approx -1,53$ và $x\approx 1,88$ như hình vẽ).
Do đó $f(13)=13^3-3\cdot 13-1=2197-39-1=2157$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải ($x>1$) nằm trên $y=1$ và giảm dần, nhánh trái ($x<1$) nằm dưới $y=1$, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên hai nhánh đều giảm; $y(0)=-1<0$ khớp hình vẽ. Loại A vì $y(0)=3>0$; loại C vì hàm bậc ba không có tiệm cận; loại D vì TCĐ là $x=-1$ và $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ (nhánh tăng). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có cực đại tại $(0;2)$, cực tiểu tại $(2;-2)$ và đi qua $(1;0)$. Xét $y=x^3-3x^2+2$: $y(0)=2$, $y(2)=8-12+2=-2$, $y(1)=1-3+2=0$; $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=2$ nhưng $y(2)=4$; C có $y(2)=-2$ nhưng $y(0)=2$ với cực trị tại $x=\pm \sqrt{2}$; D đi xuống khi $x\to +\infty$ (hệ số $-x^3$), trái với đồ thị đi lên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên (đường nét đứt) có hệ số góc $1$, cực tiểu tại $(1;3)$, cực đại tại $(-3;-5)$. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$; $y(1)=1+2=3$ (cực tiểu), $y(-3)=-3-2=-5$ (cực đại); TCX $y=x$, TCĐ $x=-1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án A: $2x^2+3x+1=(x+1)(2x+1)$ nên $y=2x+1$ (đường thẳng, không có TCĐ). Phương án C: $y=-x-3+\frac{13}{x+1}$, TCX $y=-x-3$ (hệ số góc âm), không khớp. Phương án D: $y=3x+2-\frac{4}{x+1}$, có $y(1)=3$, $y(-3)=-5$ nhưng TCX là $y=3x+2$ (hệ số góc 3), không khớp đường nét đứt hệ số góc 1. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: nhánh trái xuống dưới, nhánh phải lên trên nên $a>0$. Hàm số đi qua điểm cực đại tại $x_1<0$ rồi giảm, tại $x=0$ đồ thị đang giảm nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên $y(0)=d>0$. Hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ với $x_2$ xa gốc hơn, theo định lý Vi-ét $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (tổng hai nghiệm dương vì điểm cực tiểu nằm xa hơn), suy ra $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án C (đúng theo bảng đáp án mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ (nên loại C, D vì chúng có tiệm cận đứng $x=2$) và tiệm cận xiên có hệ số góc dương. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+3x+1}{x+2}=x+1+\frac{-1}{x+2}$, có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, khớp với đồ thị. Phương án A: $y=\frac{-x^2+x-1}{x+2}=-x-1+\frac{1}{x+2}$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ (hệ số góc âm), không khớp. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{2x+1}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$); bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{2}{1}=2$; tại $x=0$ có $y=\frac{1}{1}=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$; B có TCN $y=1$; D có TCN $y=1$ và $y(0)=2$, đều loại. Vậy đáp án C (khớp với đáp án nguồn, mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$, và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (khoảng $-1$). Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1<0$ (khớp hình vẽ); tại $x=-1$ thì $y=0$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, khớp hình vẽ vì giao điểm với trục hoành nằm bên trái gốc $O$). Loại A vì $y=\frac{x-3}{x-1}$ có $y(0)=3>0$; loại B vì $y=\frac{x^2-3x+1}{x-1}=x-2-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-2$, không phải TCN $y=1$; loại C là hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, Câu 9: D).

Chọn B.
Đường cong có dạng đồ thị hàm số trùng phương bậc bốn với nhánh cuối đi lên ($a>0$) và có 3 điểm cực trị ($ab<0$). Do đó $y=x^4-2x^2$.

**Chọn A**

Đường cong có dạng đồ thị hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh cuối đi lên nên $a>0$, loại B và D. Do $a>0$ nên loại C. Vậy chọn A.

Đồ thị hàm số có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với tiệm cận đứng $x=1>0$, tiệm cận ngang $y=1>0$ và hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên hàm số là $y=\frac{x-3}{x-1}$.

Dựa vào đồ thị, đồ thị hàm số cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tọa độ $(0;-1)$.

Từ đồ thị ta thấy giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung $Oy$ là điểm $(0;-2)$.

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nhánh cuối đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$. Do đó hàm số phù hợp là $y=-x^3+3x+1$. Chọn D.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $(-1;-3)$ và cực đại tại $(1;1)$, cắt trục tung tại $(0;-1)$ nên là đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x-1$. Chọn A.

Đường cong là đồ thị của hàm số bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh cuối đi lên). Đồ thị không có tiệm cận và cắt trục tung tại $(0;2)$. Trong các đáp án đã cho, chỉ có hàm số bậc ba $y=x^3-3x+2$ phù hợp. Chọn A.

Đồ thị hàm số là hàm bậc ba có hệ số $a<0$ nên chọn B.
Chọn B.

Chọn B.
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là $(0;-2)$.

Đồ thị là của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ (nhánh phải đi lên) và đạt cực đại tại $(0;2)$, đạt cực tiểu tại $x>0$, nên hàm số là $y=x^3-3x^2+2$. Chọn C.

Đồ thị là đường cong của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ (nhánh phải đi lên), suy ra hàm số là $y=x^3-3x+1$. Chọn C.