Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$.

(AI giải đề cho tôi)
Khớp đáp án nguồn (bảng đáp án, mã đề 102, câu 13): DSDD. a) Đúng: $f(0)=2\sin 0-0=0$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\cdot 1-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}$. b) Sai: $f^{\prime }(x)=2\cos x-1$, không phải $-2\cos x-1$. c) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff 2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$; trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ nghiệm duy nhất là $x=\frac{\pi }{3}$. d) Đúng: so sánh $f(0)=0$, $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,68$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-\frac{\pi }{2}\approx 0,43$; hơn nữa $f^{\prime }(x)>0$ trên $\left[0;\frac{\pi }{3}\right)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right]$ nên GTLN là $\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(0)=0$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-\frac{\pi }{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=2\cos x-1\ne -2\cos x-1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos x=\frac{1}{2}$ trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ cho $x=\frac{\pi }{3}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,68$ lớn hơn $f(0)=0$ và $f\left(\frac{\pi }{2}\right)\approx 0,43$; dấu đạo hàm xác nhận đây là GTLN. Đúng.