Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Một lục giác $MNPQEF$ thoả mãn các đỉnh $M$, $N$, $P$, $Q$, $E$, $F$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $AB$, $B{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }D$ và $MN\parallel BD$, $NP\parallel A{B}^{\prime }$. Chu vi của lục giác $MNPQEF$ nhỏ nhất bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(1,1,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$. Gọi $M(0,m,0)$ trên $AD$, $N(n,0,0)$ trên $AB$, $P(1,0,p)$ trên $B{B}^{\prime }$.

- $MN\parallel BD$ với $BD=(-1,1,0)$, $MN=(n,-m,0)$ suy ra $n=m$; khi đó $MN=m\sqrt{2}$.
- $NP\parallel A{B}^{\prime }$ với $A{B}^{\prime }=(1,0,1)$, $NP=(1-n,0,p)$ suy ra $p=1-n=1-m$; khi đó $NP=(1-m)\sqrt{2}$.

Lục giác đối xứng qua tâm khối lập phương $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ (phép quay $180^{\circ }$ đổi $A\leftrightarrow C^{\prime }$, $B\leftrightarrow D^{\prime }$, $B^{\prime }\leftrightarrow D$), nên $Q=(1,1-m,1)$, $E=(1-m,1,1)$, $F=(0,1,m)$. Khi đó:
- $QE=m\sqrt{2}$ (cũng song song $BD$), $EF=(1-m)\sqrt{2}$ (song song $A{B}^{\prime }$),
- $PQ=FM=\sqrt{m^2+(1-m{)}^2}$.

Chu vi: $P=2m\sqrt{2}+2(1-m)\sqrt{2}+2\sqrt{m^2+(1-m{)}^2}=2\sqrt{2}+2\sqrt{m^2+(1-m{)}^2}$.

$\sqrt{m^2+(1-m{)}^2}$ nhỏ nhất khi $m=\frac{1}{2}$ với giá trị $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy chu vi nhỏ nhất $=2\sqrt{2}+2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. Khớp với đáp án nguồn: A.