Một khối đá có dạng hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với cạnh đáy bằng $2dm$, khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}dm$. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của khối đá hình lăng trụ đã cho theo đơn vị $dm$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $h=A{A}^{\prime }$ là khoảng cách giữa hai đáy. Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(1;\sqrt{3};0)$, $A^{\prime }(0;0;h)$, $B^{\prime }(2;0;h)$, $C^{\prime }(1;\sqrt{3};h)$.

Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $A(0;0;0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2;0;h)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;\sqrt{3};h)$ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-h\sqrt{3};-h;2\sqrt{3})$, với $|\vec{n}|=\sqrt{4h^2+12}$.

Khoảng cách từ $A^{\prime }(0;0;h)$ đến $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}|}{|\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}h}{\sqrt{4h^2+12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $\frac{2h}{\sqrt{4h^2+12}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 4h=\sqrt{4h^2+12}\Rightarrow 16h^2=4h^2+12\Rightarrow h^2=1\Rightarrow h=1dm$.

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng $1dm$, khớp với đáp án A của đề.