Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Khi đó:

a) Trong mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$, kẻ $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $H$. Trong mặt phẳng $\left(A{A}^{\prime }H\right)$, kẻ $A^{\prime }K\perp AH$ tại $K$. Ta có: $\{\begin{array}{l}{B}^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }H\\ B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }(\text{do }A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }))\end{array}\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }H)\Rightarrow A^{\prime }K\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $A^{\prime }K\perp \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ hay $d\left(A^{\prime },\left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)=A^{\prime }K=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều có đường cao $A^{\prime }H=\frac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $A^{\prime }$ có đường cao $A^{\prime }K$ nên $$\frac{1}{A^{\prime }{K}^2}=\frac{1}{A^{\prime }{H}^2}+\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}\Rightarrow \frac{1}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}\Rightarrow A^{\prime }A=a.$$ Vậy a) sai.

b) Gọi $E$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }\Rightarrow \tan \left(A{C}^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=\tan C^{\prime }AE=\frac{C^{\prime }E}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(A{C}^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)\approx 51^{\circ }$. Vậy b) sai.

c) Thể tích khối lăng trụ là: $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{A}^{\prime }.S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=a\cdot a^2\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}$ (đơn vị thể tích). Mà $V_{A.BCIJ}=\frac{1}{3}AN.BC.CI=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a.CI=\frac{1}{6}{a}^3\sqrt{3}\Rightarrow CI=\frac{a}{4}\Rightarrow \frac{CI}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+y=5$. Vậy c) đúng.

d) Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $A{A}^{\prime }$ tại $M$. Gọi $O,Q$ lần lượt là trung điểm của $JM$ và $IJ$, suy ra $O$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Ta có: Với $CI=\frac{a}{4}$ thì $\cos \left((AIJ),(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=\frac{S_{△AOJ}}{S_{△AIJ}}=\frac{\frac{1}{2}AM.JO}{\frac{1}{2}AQ.JI}=\frac{1}{14}$. Vậy d) sai.
a) Trong mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$, kẻ $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $H$. Trong mặt phẳng $\left(A{A}^{\prime }H\right)$, kẻ $A^{\prime }K\perp AH$ tại $K$. Ta có: $\{\begin{array}{l}{B}^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }H\\ B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }(\text{do }A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }))\end{array}\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }H)\Rightarrow A^{\prime }K\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $A^{\prime }K\perp \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ hay $d\left(A^{\prime },\left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)=A^{\prime }K=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều có đường cao $A^{\prime }H=\frac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $A^{\prime }$ có đường cao $A^{\prime }K$ nên $$\frac{1}{A^{\prime }{K}^2}=\frac{1}{A^{\prime }{H}^2}+\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}\Rightarrow \frac{1}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}\Rightarrow A^{\prime }A=a.$$ Vậy a) sai.
b) Gọi $E$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }\Rightarrow \tan \left(A{C}^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=\tan C^{\prime }AE=\frac{C^{\prime }E}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(A{C}^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)\approx 51^{\circ }$. Vậy b) sai.
c) Thể tích khối lăng trụ là: $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{A}^{\prime }.S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=a\cdot a^2\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}$ (đơn vị thể tích). Mà $V_{A.BCIJ}=\frac{1}{3}AN.BC.CI=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a.CI=\frac{1}{6}{a}^3\sqrt{3}\Rightarrow CI=\frac{a}{4}\Rightarrow \frac{CI}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+y=5$. Vậy c) đúng.
d) Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $A{A}^{\prime }$ tại $M$. Gọi $O,Q$ lần lượt là trung điểm của $JM$ và $IJ$, suy ra $O$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Ta có: Với $CI=\frac{a}{4}$ thì $\cos \left((AIJ),(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\right)=\frac{S_{△AOJ}}{S_{△AIJ}}=\frac{\frac{1}{2}AM.JO}{\frac{1}{2}AQ.JI}=\frac{1}{14}$. Vậy d) sai.