Câu 18THPT
Trên một banner quảng cáo, người ta gắn 17 chiếc bóng đèn vào một khung hình vuông cũng như hai đường chéo của hình vuông đó. Biết rằng các bóng đèn trên một cạnh hoặc đường chéo thì chia cạnh hoặc đường chéo đó làm các đoạn bằng nhau (xem hình vẽ). Các bóng đèn sẽ sáng lên theo quy luật sau:
- Vào phút thứ nhất sẽ có ngẫu nhiên 1 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ nhất nó sẽ tắt.
- Vào phút thứ 2 sẽ có ngẫu nhiên 2 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ hai chúng sẽ tắt.
- Vào phút thứ 3 sẽ có ngẫu nhiên 3 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ ba chúng sẽ tắt.
Quy luật này cứ tiếp diễn cho đến phút thứ 17 và một chu trình mới sẽ được lặp lại. Tính xác suất để từ phút thứ 3 cho đến phút thứ 17, luôn có ít nhất 3 bóng đèn sáng lên ở 3 đỉnh của một tam giác (làm tròn đến hàng phần trăm).
Trên một banner quảng cáo, người ta gắn 17 chiếc bóng đèn vào một khung hình vuông cũng như hai đường chéo của hình vuông đó. Biết rằng các bóng đèn trên một cạnh hoặc đường chéo thì chia cạnh hoặc đường chéo đó làm các đoạn bằng nhau (xem hình vẽ). Các bóng đèn sẽ sáng lên theo quy luật sau:
- Vào phút thứ nhất sẽ có ngẫu nhiên 1 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ nhất nó sẽ tắt.
- Vào phút thứ 2 sẽ có ngẫu nhiên 2 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ hai chúng sẽ tắt.
- Vào phút thứ 3 sẽ có ngẫu nhiên 3 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ ba chúng sẽ tắt.
Quy luật này cứ tiếp diễn cho đến phút thứ 17 và một chu trình mới sẽ được lặp lại. Tính xác suất để từ phút thứ 3 cho đến phút thứ 17, luôn có ít nhất 3 bóng đèn sáng lên ở 3 đỉnh của một tam giác (làm tròn đến hàng phần trăm).
- Vào phút thứ nhất sẽ có ngẫu nhiên 1 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ nhất nó sẽ tắt.
- Vào phút thứ 2 sẽ có ngẫu nhiên 2 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ hai chúng sẽ tắt.
- Vào phút thứ 3 sẽ có ngẫu nhiên 3 bóng đèn sáng lên, đến cuối phút thứ ba chúng sẽ tắt.
Quy luật này cứ tiếp diễn cho đến phút thứ 17 và một chu trình mới sẽ được lặp lại. Tính xác suất để từ phút thứ 3 cho đến phút thứ 17, luôn có ít nhất 3 bóng đèn sáng lên ở 3 đỉnh của một tam giác (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án chính thức: 0,84
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi là biến cố: “Tại phút thứ thì có ít nhất 3 bóng đèn sáng lên ở 3 đỉnh của tam giác”; khi đó .
Phút thứ 3:
- Số phần tử không gian mẫu là .
- Số khả năng để 3 bóng đèn sáng lên là 3 đỉnh tam giác: .
(Ta loại trừ các trường hợp 3 điểm thẳng hàng gồm: 2 trường hợp 3 điểm thuộc các đường chéo, 4 trường hợp 3 điểm thuộc các cạnh, 10 trường hợp 3 điểm thẳng hàng khi vẽ thêm hình).
- Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 4: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 5: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 6: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 7: Xác suất tương ứng là .
Từ phút thứ 8 trở đi thì chắc chắn luôn có ít nhất 3 bóng sáng lên ở 3 đỉnh của tam giác.
Xác suất cần tìm là .
Phút thứ 3:
- Số phần tử không gian mẫu là .
- Số khả năng để 3 bóng đèn sáng lên là 3 đỉnh tam giác: .
(Ta loại trừ các trường hợp 3 điểm thẳng hàng gồm: 2 trường hợp 3 điểm thuộc các đường chéo, 4 trường hợp 3 điểm thuộc các cạnh, 10 trường hợp 3 điểm thẳng hàng khi vẽ thêm hình).
- Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 4: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 5: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 6: Xác suất tương ứng là .
Phút thứ 7: Xác suất tương ứng là .
Từ phút thứ 8 trở đi thì chắc chắn luôn có ít nhất 3 bóng sáng lên ở 3 đỉnh của tam giác.
Xác suất cần tìm là .