Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng 8 m dây thép để làm các đường viền. Gọi $x,y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

(AI giải đề cho tôi)
Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $y$ và hình bán nguyệt đường kính $x$ phía trên. Chu vi viền gồm: cạnh đáy $x$, hai cạnh dọc $2y$ và cung bán nguyệt $\frac{\pi x}{2}$.

a) Bán kính bán nguyệt $R=\frac{x}{2}$ nên chiều dài cung $=\pi R=\frac{\pi x}{2}$. Đúng.

b) Tổng dây: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8\Rightarrow y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}=4-\frac{x(2+\pi )}{4}$, không phải $4-\frac{x(4+\pi )}{4}$. Sai.

c) Diện tích: $S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=x\left(4-\frac{x(2+\pi )}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{(4+\pi )x^2}{8}$, không phải $4x-x^2$. Sai.

d) $S^{\prime }(x)=4-\frac{(4+\pi )x}{4}=0\Rightarrow x=\frac{16}{4+\pi }$. Khi đó $y=4-\frac{16}{4+\pi }\cdot \frac{2+\pi }{4}=\frac{4(4+\pi )-4(2+\pi )}{4+\pi }=\frac{8}{4+\pi }=\frac{16}{8+\pi }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính bán nguyệt là $x/2$ nên chiều dài cung là $\pi \cdot x/2=\frac{\pi x}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8$ suy ra $y=4-\frac{x(2+\pi )}{4}$, không phải $4-\frac{x(4+\pi )}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{(4+\pi )x^2}{8}\ne 4x-x^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=4-\frac{(4+\pi )x}{4}=0\Rightarrow x=\frac{16}{4+\pi }$, khi đó $y=4-\frac{16}{4+\pi }\cdot \frac{2+\pi }{4}=\frac{8}{4+\pi }=\frac{16}{8+\pi }$.