Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm của hàm số như sau: $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$ dương khi $x<-3$ hoặc $x>3$, âm khi $-3<x<3$ (trừ $x=1$). Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$ và $(1;3)$; cực đại tại $x=-3$, cực tiểu tại $x=3$ ($x=1$ không phải cực trị).

a) Trên $[-3;3]$, $f$ nghịch biến (nghỉ tại $x=1$) nên GTLN tại $x=-3$, tức $f(-3)$. Đúng.

b) Trên $(3;+\infty )$ hàm đồng biến ra $+\infty$ nên không có GTLN trên $\mathbb{R}$. Sai.

c) Với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$, $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(t)\ge 0$ nên $g$ đồng biến, GTLN tại $x=3$ còn GTNN tại $x=0$: $g(0)=f(3)$. Do đó GTNN không phải $g(3)=f(-3)$. Sai.

d) $h(x)=f(-x+5)$, $x\in [0;8]\Rightarrow t=5-x\in [-3;5]$. Với $x\in [0;2]$ ($t\in [3;5]$, $f^{\prime }>0$) thì $h^{\prime }<0$: nghịch biến; với $x\in [2;8]$ ($t\in [-3;3]$, $f^{\prime }\le 0$) thì $h^{\prime }\ge 0$: đồng biến. GTNN tại $x=2$; GTLN tại $x=0$ hoặc $x=8$. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$, suy ra $f(5)-f(-3)=f(3)-f(1)={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx<0$ (vì $f$ nghịch biến trên $[1;3]$), nên $f(5)<f(-3)$. Vậy GTLN trên $[0;8]$ là $h(8)=f(-3)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;3]$, $f^{\prime }\le 0$ (trừ $x=1$) nên $f$ nghịch biến, GTLN tại $x=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên không có GTLN trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$t=-2x+3\in [-3;3]$, $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(t)\ge 0$ nên $g$ đồng biến trên $[0;3]$; GTNN là $g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h$ nghịch biến trên $[0;2]$, đồng biến trên $[2;8]$; từ $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$ suy ra $f(5)-f(-3)=f(3)-f(1)<0$, nên $f(5)<f(-3)$ và GTLN là $h(8)=f(-3)$.