Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y=f^{\prime }(x)$ là parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=-2$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<2$. Do đó $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;2)$.
a) $f$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-2$ (từ + sang −) và $x=2$ (từ − sang +) nên có hai điểm cực trị (cả hai đều cực tiểu). Đúng.
b) Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − nên $f$ đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=-2$. Sai.
c) $g(x)=f(2x+4)$, $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x+4)$; $g^{\prime }(x)=0\iff 2x+4=\pm 2\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=0$ thì $2x+4=4>2$ nên $f^{\prime }>0$, $g$ không đạt cực đại tại $x=0$. Sai.
d) $h(x)=f(x^2-2)$, $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2-2)$. $h^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x^2-2=\pm 2\iff x=0,x=\pm 2$. Xét dấu: với $x<-2$: $h^{\prime }<0$; với $-2<x<0$: $h^{\prime }>0$; với $0<x<2$: $h^{\prime }<0$; với $x>2$: $h^{\prime }>0$. Vậy $h$ đạt cực tiểu tại $x=\pm 2$ và cực đại tại $x=0$: ba điểm cực trị. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ và $x=2$ nên $f$ có hai điểm cực trị (đều là cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − nên $f$ đạt cực tiểu, không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x+4)=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; tại $x=0$ thì $2x+4=4>2$ nên $f^{\prime }>0$, không phải điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2-2)=0$ tại $x=-2,0,2$; xét dấu được cực tiểu tại $x=\pm 2$, cực đại tại $x=0$: ba điểm cực trị.