Cho hàm số $f(x)=\frac{x+2}{x+5m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x+5m)-(x+2)}{(x+5m{)}^2}=\frac{5m-2}{(x+5m{)}^2}$.
a) Hàm số xác định khi mẫu khác 0, tức $x\ne -5m$ → đúng.
b) Với $m=1$: $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+5{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -5$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, tức đồng biến với mọi $x\ne -5$ → đúng.
c) Đồng biến trên $(-\infty ;-10)$ cần $5m-2>0$ và khoảng $(-\infty ;-10)$ nằm trong tập xác định $(-\infty ;-5m)$, tức $-5m\ge -10\iff m\le 2$. Vậy $\frac{2}{5}<m\le 2$, giá trị nguyên: $m=1,2$ — có 2 giá trị → đúng.
d) Nghịch biến trên $(0;1]$ cần $5m-2<0\iff m<\frac{2}{5}$ và $-5m\notin (0;1]$, tức $-5m\le 0\iff m\ge 0$. Kết hợp: $0\le m<\frac{2}{5}$, với $m\in \mathbb{N}$ chỉ có $m=0$ — đúng 1 giá trị → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x+5m\ne 0$, tức $x\ne -5m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+5{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -5$ nên hàm số đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồng biến trên $(-\infty ;-10)$ khi $5m-2>0$ và $-5m\ge -10$, tức $\frac{2}{5}<m\le 2$: có $m=1,2$ (2 giá trị nguyên).
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghịch biến trên $(0;1]$ khi $5m-2<0$ và $-5m\le 0$, tức $0\le m<\frac{2}{5}$; với $m\in \mathbb{N}$ chỉ có $m=0$ (1 giá trị).