Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }$ do $(x+1)$ quyết định: với $x<-1$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x>-1,x\ne 3$ thì $f^{\prime }(x)>0$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=3$. a) Trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng. b) Trên $(-1;3)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến → Sai. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-1$ (cực tiểu) nhưng tại $x=3$ thì $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương cả hai bên) nên $x=3$ không phải điểm cực trị → hàm chỉ có một điểm cực trị → Sai. d) Đúng, hàm có đúng một điểm cực trị tại $x=-1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$: $(x+1)<0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;3)$: $(x+1)>0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm đồng biến chứ không nghịch biến trên $(-1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực trị; tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên) nên $x=3$ không phải cực trị. Vậy hàm chỉ có một điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có duy nhất một điểm cực trị là $x=-1$ (điểm cực tiểu), vì $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=-1$.