Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+4x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2+2mx+4$. a) $f(0)=3$ đúng. b) Với $m=6$: $f^{\prime }(x)=x^2+12x+4$ có hai nghiệm $x=-6\pm 4\sqrt{2}$ (đều âm), nên trên $(0;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến — đúng. c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$, tức ${\Delta }^{\prime }=4m^2-16\le 0\iff -2\le m\le 2$, có 5 giá trị nguyên $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$, không phải 3 — sai. d) Đồng biến trên $(0;+\infty )$: với $m\ge 0$ thì đỉnh parabol $x=-m\le 0$ và $f^{\prime }(0)=4>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;+\infty )$; với $m<0$ thì giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ tại $x=-m>0$ bằng $4-m^2$, cần $4-m^2\ge 0\iff m\ge -2$. Vậy điều kiện là $m\ge -2$, các giá trị nguyên âm là $m\in \{-2,-1\}$: chỉ có 2 giá trị, không phải 3 — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{1}{3}\cdot 0+m\cdot 0+4\cdot 0+3=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=6$, $f^{\prime }(x)=x^2+12x+4$ có hai nghiệm $x=-6\pm 4\sqrt{2}$ đều âm, nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồng biến trên $\mathbb{R}$ yêu cầu ${\Delta }^{\prime }=4m^2-16\le 0\iff -2\le m\le 2$, cho 5 giá trị nguyên, không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi $m\ge -2$; các giá trị nguyên âm thỏa mãn là $m=-2,-1$: chỉ có 2 giá trị, không phải 3.