Cho hàm số $f(x)=\sqrt{3x-x^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $3x-x^2\ge 0\iff x\in [0;3]$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}$.

a) Trên $(0;\frac{3}{2})$, $3-2x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$: hàm đồng biến. Đúng.

b) Tại $x=\frac{3}{2}$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại (không phải cực tiểu) tại $x=\frac{3}{2}$, với $f(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$. Sai.

c) Trên $(2;3)$, $3-2x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$: hàm nghịch biến. Đúng.

d) Điểm cực trị là $M(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$. Đường thẳng $d$ cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $A(a;0),B(0;b)$ với $a,b>0$, phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $d$ qua $M$: $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}=1\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}$. Theo AM-GM: $\frac{2}{3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow \sqrt{ab}\ge 3\Rightarrow ab\ge 9$, dấu bằng khi $a=b=3$. Vậy $S$ nhỏ nhất khi $a=b=3$, đường thẳng $d:y=-x+3$, tức $m=-1,n=3$. Khi đó $3m-2n=3(-1)-2(3)=-9<0$, là số âm. Đúng.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\frac{3}{2})$, $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}>0$ nên hàm đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=\frac{3}{2}$ nên hàm đạt cực đại (không phải cực tiểu) tại $x=\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (2;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực trị $M(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$. Với $d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ($a,b>0$) qua $M$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$, suy ra $ab\ge 9$ (AM-GM), min khi $a=b=3$. Khi đó $d:y=-x+3$, $3m-2n=-9<0$.