Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{mx+1}{x+m}}$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$?

Đáp số: ....................

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u(x)=\frac{mx+1}{x+m}$. Vì $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^u$ nghịch biến theo $u$, hàm số đồng biến trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ khi và chỉ khi $u$ nghịch biến trên khoảng này. Ta có $u^{\prime }(x)=\frac{m(x+m)-(mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{m^2-1}{(x+m{)}^2}$. Yêu cầu $u^{\prime }(x)<0$ trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ tức $m^2-1<0\iff -1<m<1$, đồng thời mẫu $x+m\ne 0$ với mọi $x>\frac{1}{2}$, tức nghiệm $x=-m$ phải thỏa $-m\le \frac{1}{2}\iff m\ge -\frac{1}{2}$. Kết hợp: $-\frac{1}{2}\le m<1$, các giá trị nguyên là $m=0$. Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$.