Câu 8. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2(x+1)\left(x^2+2mx+5\right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số có đúng một điểm cực trị?

Đáp số: ....................

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x+1)(x^2+2mx+5)$. Nhân tử $x^2\ge 0$ không đổi dấu, nên dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi qua các nghiệm của $(x+1)$ và $(x^2+2mx+5)$. Hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)$ đổi dấu đúng một lần, tức tam thức $x^2+2mx+5$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ (vì $x+1$ luôn đổi dấu tại $x=-1$ cho một điểm cực trị). Điều kiện: ${\Delta }^{\prime }=m^2-5\le 0\iff -\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$, gồm 5 giá trị. Với ${\Delta }^{\prime }=0$ (tức $m=\pm \sqrt{5}$, không nguyên) tam thức có nghiệm kép không đổi dấu, vẫn chỉ một điểm cực trị — không ảnh hưởng đáp số. Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$.