Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_1$, $x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1$?

Đáp số: ....................

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$. Hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức ${\Delta }^{\prime }>0$: $m^2+2(3m^2-1)>0\iff 7m^2>2\iff m^2>\frac{2}{7}$. Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=m$, $x_1{x}_2=-(3m^2-1)=1-3m^2$. Điều kiện $x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1$ trở thành $1-3m^2+2m=1\iff 2m=3m^2\iff m=0$ hoặc $m=\frac{2}{3}$. Với $m=0$: $m^2=0<\frac{2}{7}$ loại. Với $m=\frac{2}{3}$: $m^2=\frac{4}{9}>\frac{2}{7}$ thỏa mãn. Vậy chỉ có $1$ giá trị của $m$.