Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với 8 cạnh (gồm 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy). Chọn ngẫu nhiên hai cạnh của hình chóp đã cho. Xác suất chọn được hai cạnh cùng nằm trên một mặt phẳng là

Trong không gian $Oxyz$, cho $(\alpha ):x-my+z+6m+3=0$ và $(\beta ):mx+y-mz+3m-8=0$ (với $m$ là tham số thực) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta$. Gọi đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng khi $m$ thay đổi thì đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm $I(a;b;c)$ thuộc $(Oxy)$ với bán kính là $R$. Giá trị của $a+2b+3c+5R$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1\\ z=1+t\end{array}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

Một chất điểm chuyển động trên trục thẳng đứng với chiều dương hướng lên trên có vị trí được xác định bởi $s(t)=t^3-3t^2+12t$ (cm), trong đó $t$ là thời gian chuyển động được tính theo giây. Trong 12 giây chuyển động đầu tiên, vận tốc trung bình của chất điểm là

Trong một cuộc thi giải khối rubik tiêu chuẩn cỡ 3x3x3, người ta thống kê thời gian giải rubik của 25 người chơi theo bảng số liệu sau

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu cho bởi bảng trên được làm tròn tới hàng phần trăm là

Nếu $a,b$ là các số thực thỏa mãn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(ax+3+\sqrt{4x^2+bx+12}\right)=5$ thì giá trị của $2a-b$ bằng bao nhiêu?

Đơn đặt hàng của một xưởng sản xuất cho một loại sản phẩm X là khoảng 400 chiếc mỗi ngày khi giá 350 nghìn đồng/1 chiếc và 600 chiếc mỗi ngày khi giá 325 nghìn đồng/1 chiếc. Hàm cung được cho bởi công thức $\rho =0,325x+40$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm được bán với giá $\rho$ nghìn đồng một chiếc. Trong trường hợp hàm cầu là hàm số bậc nhất thì thặng dư tiêu dùng bằng bao nhiêu triệu đồng?

Kết quả khảo sát năng suất lúa (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa bởi biểu đồ sau

Phương sai của mẫu số liệu cho bởi biểu đồ trên bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;1;-2)$, $B(-2;1;2)$ và $C(2;3;4)$. Tập hợp các điểm cách đều ba điểm đã cho là một đường thẳng có phương trình tham số là

Trong không gian, bốn lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ cùng tác động vào một chất điểm $S$ làm cho chất điểm đứng yên. Các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ có cường độ bằng nhau và bằng $30\sqrt{6}$ N. Khi giá của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một tạo với nhau một góc bằng $60^{\circ }$ thì cường độ của lực $\overrightarrow{F_4}$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x-y+2z+3=0$ và $(Q):-x+y-2z+6=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có phương trình là

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $A{A}^{\prime }=2AB=6$, $A^{\prime }AB=A^{\prime }AC=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ và $N$ là trọng tâm tam giác $BC{C}^{\prime }$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(4)+4G(1)=4G(4)+F(1)+2025$. Giá trị của ${\int }_1^{4}f(x)dx$ bằng

Ba bạn Bình, Khá và Giỏi tham gia một trò chơi với phần thưởng là những cái kẹo. Sau khi trò chơi kết thúc, số kẹo được thưởng của Bình, Khá, Giỏi theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội là số tự nhiên. Vì số kẹo thưởng của bản thân nhiều hơn của hai bạn còn lại nên Giỏi đã tặng cho bạn Bình 84 cái kẹo và tặng cho bạn Khá 54 cái kẹo. Sau khi tặng kẹo xong, Giỏi nhận thấy số kẹo của Bình, Khá và bản thân theo thứ tự lại tạo thành một cấp số cộng và bản thân Giỏi vẫn có nhiều kẹo nhất. Số kẹo thưởng còn lại của Giỏi sau khi tặng cho hai bạn Bình và Khá là bao nhiêu cái?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.



Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;4]$ đạt được tại điểm

Cho hàm số $y=\frac{9-3x}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$, đường thẳng $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn đề bài?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Nếu $\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}\left(\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\ne n\right)$ và giá trị của $\frac{u_{24}}{u_{25}}=\frac{a}{b}$ thì $24a-25b$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ là một điểm thuộc mặt phẳng $(BCD)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB}+y.\overrightarrow{AC}+z.\overrightarrow{AD}$ $(x,y,z\in \mathbb{R})$. Giá trị của $x+y+z$ bằng

Cho bất phương trình $\sqrt{x+2}\left[{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{x^2-x-18}-\frac{1}{2}\right]\ge 0$. Gọi $T$ là tập tất cả các nghiệm nguyên không vượt quá 2025 của bất phương trình đã cho. Số phần tử của $T$ là

Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, hàm số nào không phải là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{2024}{2x+1}$ trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$?

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ là $O(0;0;0)$, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động thẳng trong khu vực kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí $A(222;220;10)$ và $B(122;150;20)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ vị trí của máy bay là $(a;b;c)$. Giá trị của biểu thức $a+b-c$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(3-x)$ là đường cong trong hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-2025;2025)$ để hàm số $y=f\left(\left|x^2+4x-m\right|\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;4)$?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime })$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình $m{x}^2+e^x+\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\le m^{2}x+1$ có nghiệm duy nhất?

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f(x)=e^{-2025x}-e^{2025x}-2025\ln \left(45x+\sqrt{2025x^2+1}\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Xét khối chóp $S.ABC$ có thể tích là $V$, $G$ là trọng tâm của khối chóp. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $G$ cắt các cạnh $SA,SB,SC$ tương ứng tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Gọi $V^{\prime }$ là thể tích của khối chóp $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}AD=3AB=9$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I$ là trung điểm của đoạn $B{B}^{\prime }$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;2)$, $B(-3;0;2)$, mặt phẳng $(P):x-y+z-4=0$ và các đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$, ${\Delta }_3:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_4:\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=2-t\\ z=-3\end{array}$.

Khi thống kê 50 bài kiểm tra môn Toán của bạn X ta thu được bảng số liệu dưới đây và trong số đó chỉ có đúng 1 bài kiểm tra có điểm dưới 6,5.

Câu 6:
a) Nếu $\underset{0}{\overset{12}{\int }}f(x)dx=24$ và $\underset{6}{\overset{10}{\int }}2f(x)dx=-8$ thì $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f(x)dx+\underset{10}{\overset{12}{\int }}f(x)dx=32$.
b) Cho vật thể $T$ có đáy là hình tròn bán kính bằng 3, các mặt phẳng vuông góc với mặt đáy cắt vật thể theo các thiết diện là những hình vuông. Thể tích của vật thể $T$ bằng $144\pi$ (đvtt).

c) Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=5$ và
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f(x)+x{f}^{\prime }(x)\right]}^{2}dx+45=30\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[x^{2}f(x)+x^3{f}^{\prime }(x)\right]dx$$
thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\frac{5}{3}$.
d) Nếu $F(x)=x\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x)}{e^x}$ thì $f(x)=(1+\ln x)e^x$.

Câu 7: Chọn ngẫu nhiên 3 số nguyên dương khác nhau từ 2025 số nguyên dương đầu tiên.

Câu 8: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ ($a,b,c,d$ là các hệ số thực) có đồ thị nhận đường thẳng $x=1$ là đường tiệm cận đứng và $\underset{(-d;+\infty )}{\min }f(x)=1$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ sau

Câu 1: Độ sáng của một vật thể thì tỉ lệ thuận với cường độ của nguồn sáng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ nguồn sáng đến vật thể. Cho hai nguồn sáng $A$ và $B$ đặt cách nhau 12 mét, nguồn sáng $A$ có cường độ gấp 8 lần nguồn sáng $B$. Một vật thể $M$ được đặt trên đoạn thẳng nối hai nguồn sáng sao cho vật thể có độ sáng ít nhất. Tỉ số khoảng cách từ $M$ đến hai nguồn sáng bằng bao nhiêu? (số bé chia số lớn)

Một cột điện có chiều cao $h$ mét được dựng vuông góc với mặt đất. Sau khi cơn bão Yagi đi qua, cột điện bị nghiêng về phía nam một góc $30^{\circ }$ so với vị trí ban đầu. Tại thời điểm mặt trời ở hướng đông với các tia nắng tạo với mặt đất một góc $30^{\circ }$, người ta nhận thấy bóng trên mặt đất của cột điện bị nghiêng có chiều dài bằng 18 mét. Giá trị của $h$ bằng bao nhiêu mét? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật kích thước 28m x 16m như hình vẽ bên dưới, trong đó $\left(P_1\right),\left(P_2\right)$ là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, $(C)$ là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol tại chính các đỉnh của parabol đó (tham khảo hình vẽ). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông, phần không lát gạch để trồng cỏ với chi phí 100 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn $(C)$ có diện tích lớn nhất thì tổng chi phí lát gạch và trồng cỏ cho mảnh sân là bao nhiêu triệu đồng? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

Cho một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=24$ (cm) và chiều rộng $BC=16$ (cm). Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải $B$ của tờ giấy nằm trên cạnh dưới $CD$ của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp $MP$ có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu centimét? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

Hai bạn Thanh và Mai hẹn gặp nhau tại thư viện trường X trong khoảng thời gian từ 9 giờ 30 phút đến 10 giờ 30 phút. Người đến trước đợi quá 12 phút mà không gặp thì rời đi. Khi hai bạn đi ngẫu nhiên đến nơi hẹn theo quy định thì xác suất hai bạn gặp nhau tại thư viện trường X bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng 1 mét. Một chiếc Flycam xuất phát từ gốc tọa độ, bay theo đường thẳng với mỗi giây bay nó cách điểm xuất phát 6 mét về phía nam, 4 mét về phía đông đồng thời tăng độ cao thêm 1 mét so với mặt đất. Sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát, chiếc Flycam bay tới vị trí điểm $M\left(a;b;c\right)$ để quan sát hai vật thể nằm ở hai vị trí $A\left(40;203;8\right)$ và $B\left(160;22;12\right)$ trong không gian. Khi góc quan sát tạo bởi hai tia $MA$ và $MB$ là lớn nhất thì giá trị $a+b+c+t$ bằng bao nhiêu?