PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 8. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f(x)=e^{-2025x}-e^{2025x}-2025\ln \left(45x+\sqrt{2025x^2+1}\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=2025$, chú ý $45x+\sqrt{2025x^2+1}=45x+\sqrt{(45x{)}^2+1}$ nên $\ln (45x+\sqrt{2025x^2+1})=\mathrm{asinh}(45x)$.

a) $f^{\prime }(x)=-a{e}^{-ax}-a{e}^{ax}-\frac{a\cdot 45}{\sqrt{2025x^2+1}}=-a\left(e^{ax}+e^{-ax}+\frac{45}{\sqrt{2025x^2+1}}\right)<0$ với mọi $x$. Vậy $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$: ĐÚNG.

b) $f(-x)=e^{ax}-e^{-ax}-a\mathrm{asinh}(-45x)=-e^{-ax}+e^{ax}+a\mathrm{asinh}(45x)=-f(x)$: hàm lẻ, ĐÚNG.

c) Vì $f$ nghịch biến và lẻ nên $f(A)+f(B)=0\iff f(A)=f(-B)\iff A=-B$. Phương trình trở thành $x+2025=e^x-m$, tức $g(x)=e^x-x-(2025+m)=0$ cần đúng 2 nghiệm nhỏ hơn 3. $g^{\prime }(x)=e^x-1$, $g$ đạt min tại $x=0$ với $g(0)=1-2025-m$. Cần $g(0)<0\iff m>-2024$ (khi đó nghiệm trái $x<0<3$ luôn có). Nghiệm phải nhỏ hơn 3 cần $g(3)=e^3-2028-m>0\iff m<e^3-2028\approx -2007,91$. Vậy $-2024<m<e^3-2028$, các giá trị nguyên $m\in \{-2023,\dots ,-2008\}$: có 16 giá trị, không phải 18: SAI.

d) Do $f$ nghịch biến: $f(\log (2x-3))\ge f(\log (x+4))\iff \log (2x-3)\le \log (x+4)\iff 2x-3\le x+4\iff x\le 7$, kết hợp điều kiện $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$. Tập nghiệm là $\left(\frac{3}{2};7\right]$, không phải $[7;+\infty )$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-2025\left(e^{2025x}+e^{-2025x}+\frac{45}{\sqrt{2025x^2+1}}\right)<0$ với mọi $x$, nên $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\ln (45x+\sqrt{2025x^2+1})=\mathrm{asinh}(45x)$ là hàm lẻ và $e^{-2025x}-e^{2025x}$ cũng lẻ, nên $f(-x)=-f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $e^x=x+2025+m$. Với $g(x)=e^x-x-(2025+m)$, cần $g(0)<0$ và $g(3)>0$, tức $-2024<m<e^3-2028\approx -2007,91$, cho 16 giá trị nguyên $m$ (từ $-2023$ đến $-2008$), không phải 18.
d) (AI giải đề cho tôi)
Do $f$ nghịch biến, bất phương trình tương đương $\log (2x-3)\le \log (x+4)$ với điều kiện $x>\frac{3}{2}$, cho tập nghiệm $\left(\frac{3}{2};7\right]$, không phải $[7;+\infty )$.