Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình $m{x}^2+e^x+\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\le m^{2}x+1$ có nghiệm duy nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $f(x)=m{x}^2-m^{2}x+e^x+\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-1$. Ta có $f(0)=0$, nên $x=0$ luôn là nghiệm. Xét $f^{\prime }(x)=2mx-m^2+e^x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, $f^{\prime }(0)=1-m^2$.
- Nếu $m\ne 0$: khi $x\to -\infty$, $m{x}^2\to +\infty$ nên $f(x)\to +\infty$, tức tồn tại $x<0$ với $f(x)>0$ → không nghiệm duy nhất (loại mọi $m\ne 0$ với $m^2\ge 1$ và cả $0<|m|<1$ vì khi đó $f\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$).
- Với $m=1$: $f^{\prime \prime }(x)=2+e^x-\frac{x}{(1+x^2{)}^{3/2}}>0$ với $x<0$, nên $f^{\prime }$ tăng trên $(-\infty ,0)$, $f^{\prime }(0)=0$ suy ra $f^{\prime }<0$ với $x<0$, do đó $f>0$ khi $x<0$ → loại.
- Với $m=-1$: $f^{\prime \prime }(0)=-1<0$, $f^{\prime }$ giảm lân cận 0; với $x>0$ lớn, $e^x$ trội nên $f\to +\infty$ → tồn tại $x>0$ với $f>0$ → loại.
- Với $m=0$: $f(x)=e^x+\mathrm{asinh}x-1$, $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}>0$ nên $f$ đồng biến, $f(0)=0$ ⇒ $f(x)<0$ với $x<0$, $f(x)>0$ với $x>0$. Bất phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.
Vậy chỉ có $m=0$ thỏa mãn: 1 giá trị.