Câu 6:
a) Nếu $\underset{0}{\overset{12}{\int }}f(x)dx=24$ và $\underset{6}{\overset{10}{\int }}2f(x)dx=-8$ thì $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f(x)dx+\underset{10}{\overset{12}{\int }}f(x)dx=32$.
b) Cho vật thể $T$ có đáy là hình tròn bán kính bằng 3, các mặt phẳng vuông góc với mặt đáy cắt vật thể theo các thiết diện là những hình vuông. Thể tích của vật thể $T$ bằng $144\pi$ (đvtt).

c) Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=5$ và
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f(x)+x{f}^{\prime }(x)\right]}^{2}dx+45=30\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[x^{2}f(x)+x^3{f}^{\prime }(x)\right]dx$$
thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\frac{5}{3}$.
d) Nếu $F(x)=x\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x)}{e^x}$ thì $f(x)=(1+\ln x)e^x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\int }_6^{10}2f(x)dx=-8\Rightarrow {\int }_6^{10}f(x)dx=-4$. Do đó ${\int }_0^{6}fdx+{\int }_{10}^{12}fdx=24-(-4)=28\ne 32$.
b) Sai: với $x\in [-3;3]$, thiết diện vuông góc trục $x$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{9-x^2}$, nên $V={\int }_{-3}^{3}4(9-x^2)dx=4{\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^3=4(54-18)=144$ (đvtt), không phải $144\pi$.
c) Đúng: đặt $g(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)=(xf(x){)}^{\prime }$, có ${\int }_0^{1}gdx=f(1)=5$ và $x^{2}f+x^3{f}^{\prime }=x^{2}g$. Gọi $A={\int }_0^1{g}^{2}dx$, theo Cauchy–Schwarz ${\int }_0^1{x}^{2}gdx\le \sqrt{{\int }_0^1{x}^{4}dx}\sqrt{A}=\sqrt{A/5}$. Giả thiết $A+45=30{\int }_0^1{x}^{2}gdx\le 6\sqrt{5A}\Rightarrow (\sqrt{A}-3\sqrt{5}{)}^2\le 0\Rightarrow A=45$, dấu bằng khi $g=\lambda x^2$; $\lambda /3=5\Rightarrow \lambda =15$ (kiểm tra $A=225/5=45$). Suy ra $(xf{)}^{\prime }=15x^2\Rightarrow xf=5x^3+C$; $f(1)=5\Rightarrow C=0$, $f=5x^2$, nên ${\int }_0^{1}fdx=5/3$.
d) Đúng: $F^{\prime }(x)=1+\ln x=\frac{f(x)}{e^x}\Rightarrow f(x)=(1+\ln x)e^x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_6^{10}fdx=-4$ nên tổng bằng $24+4=28\ne 32$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V={\int }_{-3}^{3}4(9-x^2)dx=144$ (đvtt), không phải $144\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Cauchy–Schwarz ép $A=45$, $g=15x^2$, suy ra $f=5x^2$ và ${\int }_0^{1}fdx=5/3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F^{\prime }(x)=1+\ln x=f/e^x\Rightarrow f=(1+\ln x)e^x$.