Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}AD=3AB=9$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I$ là trung điểm của đoạn $B{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa: $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ ($|\vec{a}|=3$), $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$ ($|\vec{b}|=6$), $\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ ($|\vec{c}|=9$), các góc $60^{\circ }$ nên $\vec{a}\cdot \vec{b}=9$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{27}{2}$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=27$.
a) $C$ ứng với $\vec{a}+\vec{b}$, $B^{\prime }$ ứng với $\vec{a}+\vec{c}$, $D^{\prime }$ ứng với $\vec{b}+\vec{c}$, trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{c})+(\vec{b}+\vec{c})}{3}=\frac{2\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{c}}{3}$ ⇒ đúng.
b) $I$ trung điểm $B{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AI}=\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}$, nên $\overrightarrow{IG}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}$, $6\overrightarrow{IG}=4\vec{b}+\vec{c}\ne \vec{c}+2\vec{a}+4\vec{b}$ ⇒ sai.
c) $\overrightarrow{BD}=\vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$; tích vô hướng $=|\vec{b}{|}^2+\vec{b}\cdot \vec{c}-|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{c}=36+27-9-13,5=40,5$, nhân 2 được $81$ ⇒ đúng.
d) $\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}=\vec{a}-\vec{b}$, $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=9+36-18=27$, độ dài $=3\sqrt{3}\ne 3\sqrt{7}$ ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{2\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{c}}{3}$ nên $3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$6\overrightarrow{IG}=4\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, thiếu $2\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=40,5$ nên $2\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=81$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GD}|=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ne 3\sqrt{7}$.