Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;2)$, $B(-3;0;2)$, mặt phẳng $(P):x-y+z-4=0$ và các đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$, ${\Delta }_3:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_4:\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=2-t\\ z=-3\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tâm là trung điểm AB: I((-1);1;2), R²=|AB|²/4=(16+4)/4=5 nên (x+1)²+(y-1)²+(z-2)²=5, không phải (x-1)²+(y+1)²+(z+2)²=5 → Sai.
b) Gọi A₁ là ảnh của A qua (P): d=(1-2+2-4)/√3=-√3, A₁=A-2·(-3)/3·(1,-1,1)=(3;0;4). A₂ là ảnh của A qua (Oxy): (1;2;-2). Chu vi = A₁D+DE+EA₂ ≥ A₁A₂ = |(2,-2,6)|... thực tế A₁A₂ = √(4+4+36)=√44=2√11. Đoạn A₁A₂ cắt (P) tại t=0,3 và (Oxy) tại t=2/3 (thứ tự đúng), nên đạt được → Đúng.
c) Đường thẳng có vt (3;2;2) cắt cả Δ₁ và Δ₂: tham số hóa P₁=(1+2s; s; -2-s) trên Δ₁, giao với Δ₂ (1+r; -2r; -2+2r) buộc 5s+8λ=0 và -5s-4λ=0 → λ=0, s=0, tức Δ phải đi qua (1;0;-2). Kiểm tra với Δ₃: hệ (1+3λ;2λ;-2+2λ)=(-1+w;1+2w;w) cho λ=3/2 từ phương trình y nhưng λ phải thỏa x: 1+3λ=-3+2λ → λ=-4, mâu thuẫn. Vậy không cắt Δ₃ → Sai.
d) M(3;0;0), N(0;6;0), P(0;0;6) vì trọng tâm A=(a/3;b/3;c/3). Mặt phẳng: x/3+y/6+z/6=1 ⇔ 2x+y+z-6=0 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB là I(-1;1;2), R²=5, phương trình đúng là (x+1)²+(y-1)²+(z-2)²=5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gấp A qua (P) được A₁(3;0;4), qua (Oxy) được A₂(1;2;-2); chu vi min = A₁A₂ = √44 = 2√11, đoạn thẳng này cắt (P) rồi (Oxy) theo đúng thứ tự nên đạt được.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường có vt (3;2;2) cắt Δ₁, Δ₂ buộc đi qua giao điểm (1;0;-2) của chúng; đường này không cắt Δ₃ (hệ vô nghiệm), nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm A cho a=3, b=6, c=6; mặt phẳng x/3+y/6+z/6=1 ⇔ 2x+y+z-6=0.