Xét khối chóp $S.ABC$ có thể tích là $V$, $G$ là trọng tâm của khối chóp. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $G$ cắt các cạnh $SA,SB,SC$ tương ứng tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Gọi $V^{\prime }$ là thể tích của khối chóp $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đặt $A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0)$. Từ $SB\perp BA,SC\perp CA$ suy ra $S=(a,a,2a)$ (vì $SA=a\sqrt{6}$). Mặt phẳng $(SBC)$ có VTPT $(2,2,-1)$ (từ $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(2a^2,2a^2,-a^2)$), phương trình $2x+2y-z-2a=0$. Khoảng cách từ $A$: $\frac{2a}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2a}{3}$. Đúng.
b) Với $BC=2a$: $AM=SM=\sqrt{3}a$, $SA=\sqrt{3}a$. Góc nhị diện là góc $AMS$ trong tam giác $AMS$: $S{A}^2=A{M}^2+S{M}^2-2\cdot AM\cdot SM\cos \theta \Rightarrow 3a^2=6a^2-6a^2\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.
c) Diện tích $△ABC=\sqrt{3}{a}^2$; hai mặt phẳng vuông góc nên khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng đường cao $\sqrt{3}a$. $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}{a}^2\cdot \sqrt{3}a=a^3\ne 3a^3$. Sai.
d) Đặt $x=\frac{S{A}^{\prime }}{SA},y=\frac{S{B}^{\prime }}{SB},z=\frac{S{C}^{\prime }}{SC}$, thì $\frac{V^{\prime }}{V}=xyz$. Vì $G$ là trọng tâm khối chóp, điều kiện mặt phẳng qua $G$ cho: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ với $0<x,y,z\le 1$. Đặt $u=1/x,v=1/y,w=1/z\ge 1$, $u+v+w=4$. $xyz=\frac{1}{uvw}$: $uvw$ nhỏ nhất tại $(1,1,2)$ bằng $2\Rightarrow \max xyz=\frac{1}{2}$; $uvw$ lớn nhất tại $u=v=w=\frac{4}{3}$ bằng $\frac{64}{27}\Rightarrow \min xyz=\frac{27}{64}$. Tổng $=\frac{32+27}{64}=\frac{59}{64}$, $a+b=59+64=123$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ trục toạ độ cho $S=(a,a,2a)$, mặt phẳng $(SBC):2x+2y-z-2a=0$, $d(A,(SBC))=\frac{2a}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $AMS$ có $AM=SM=\sqrt{3}a$, $SA=\sqrt{3}a$ nên $\cos \widehat{AMS}=\frac{1}{2}$, góc nhị diện bằng $60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}{a}^2\cdot \sqrt{3}a=a^3\ne 3a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$, $x,y,z\in (0,1]$; $\max xyz=\frac{1}{2}$, $\min xyz=\frac{27}{64}$, tổng $=\frac{59}{64}$, $a+b=123$.