Cho một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=24$ (cm) và chiều rộng $BC=16$ (cm). Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải $B$ của tờ giấy nằm trên cạnh dưới $CD$ của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp $MP$ có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu centimét? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A(0;16),B(24;16),C(24;0),D(0;0)$. Góc $B$ gấp xuống điểm $Q(q;0)$ trên $CD$; nếp gấp $MP$ là trung trực của $BQ$ với $P\in AB$, $M\in BC$.

Trung điểm $BQ$: $\left(\frac{24+q}{2};8\right)$, $\overrightarrow{BQ}=(q-24;-16)$ nên nếp gấp có phương $(16;q-24)$.

Tại $y=16$ (điểm $P$): $t=\frac{8}{q-24}$, $x_P=\frac{24+q}{2}+\frac{128}{q-24}$. Tại $x=24$ (điểm $M$): $t=\frac{24-q}{32}$, $y_M=8-\frac{(24-q{)}^2}{32}$ (cần $y_M\ge 0\Rightarrow q\ge 8$).

Đặt $u=24-q\in (0;16]$: $x_P=24-\frac{u}{2}-\frac{128}{u}$, $y_M=8-\frac{u^2}{32}$.

$$M{P}^2={\left(\frac{u}{2}+\frac{128}{u}\right)}^2+{\left(8+\frac{u^2}{32}\right)}^2=\frac{u^4}{1024}+\frac{3u^2}{4}+\frac{16384}{u^2}+192.$$

$f^{\prime }(u)=\frac{u^3}{256}+\frac{3u}{2}-\frac{32768}{u^3}=0\Rightarrow v^3+384v^2-8388608=0$ với $v=u^2$. Thử $v=128$: $2097152+6291456-8388608=0$ ✓, nên $u=8\sqrt{2}\approx 11,31\in (0;16]$ là điểm cực tiểu duy nhất ($f^{\prime }\to -\infty$ khi $u\to 0^{+}$, $f^{\prime }>0$ sau đó). Kiểm tra ràng buộc: khi đó $x_P\approx 7,03\in [0;24]$, $q\approx 12,69\in [0;24]$ — hợp lệ.

$$M{P}_{\min }^2=\frac{128^2}{1024}+\frac{3\cdot 128}{4}+\frac{16384}{128}+192=16+96+128+192=432.$$

Vậy $M{P}_{\min }=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\approx 20,8$ cm.