Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là điểm di động trên đường thẳng $AB$ và $N$ là điểm di động trên đường thẳng $SD$. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(2a;0;0)$, vì $\widehat{BAD}=120^{\circ }$ nên $D=(-a;a\sqrt{3};0)$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ có $AB=2a$ là cạnh huyền nên $SA=SB=a\sqrt{2}$, chân đường cao là trung điểm $H$ của $AB$, $SH=\frac{AB}{2}=a$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $S=(a;0;a)$.

Điểm $M\in AB$: $M=(t;0;0)$. Điểm $N\in SD$: $N=S+u(D-S)=(a-2au;a\sqrt{3}u;a(1-u))$.

$$M{N}^2=(t-a+2au{)}^2+3a^2{u}^2+a^2(1-u{)}^2.$$
Với mỗi $u$, chọn $t=a-2au$ để triệt tiêu số hạng đầu, khi đó
$$M{N}^2=a^2\left[3u^2+(1-u{)}^2\right]=a^2(4u^2-2u+1).$$
Hàm $g(u)=4u^2-2u+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $u=\frac{1}{4}$ với $g_{\min }=\frac{3}{4}$ (nằm trong đoạn $[0;1]$, tức $N$ thuộc đoạn $SD$, $M$ thuộc đoạn $AB$).

Vậy $M{N}_{\min }=a\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Kiểm tra lại bằng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo lệch $AB$ và $SD$ cho cùng kết quả $\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Đáp án D.