Trong không gian $Oxyz$, cho $(\alpha ):x-my+z+6m+3=0$ và $(\beta ):mx+y-mz+3m-8=0$ (với $m$ là tham số thực) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta$. Gọi đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Biết rằng khi $m$ thay đổi thì đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm $I(a;b;c)$ thuộc $(Oxy)$ với bán kính là $R$. Giá trị của $a+2b+3c+5R$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến Δ nằm trong cả hai mặt phẳng. Hình chiếu Δ' lên (Oxy) là tập các điểm (x,y,0) sao cho tồn tại z thỏa cả hai phương trình. Khử z: từ (α): z = -x + my - 6m - 3; thay vào (β) (với m≠0): m(-x+my-6m-3) = mx + y + 3m - 8, suy ra (m²-1)y - 2mx - 6m² - 6m + 8 = 0, tức Δ': 2mx + (1-m²)y + (6m²+6m-8) = 0. Δ' tiếp xúc mặt cầu tâm I(a,b,0) ∈ (Oxy) bán kính R khi khoảng cách từ I đến Δ' không đổi: [2ma + (1-m²)b + 6m²+6m-8]² = R²[4m² + (1-m²)²] = R²(m²+1)². Vậy (-b+6)m² + (2a+6)m + (b-8) = ±R(m²+1) với mọi m. Hệ số m: 2a+6=0 ⇒ a=-3. Trường hợp thỏa: -b+6 = -(b-8) ⇒ b=7, khi đó biểu thức = -(m²+1) ⇒ R=1, c=0. Kiểm tra: a+2b+3c+5R = -3+14+0+5 = 16.