Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Nếu $\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}\left(\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\ne n\right)$ và giá trị của $\frac{u_{24}}{u_{25}}=\frac{a}{b}$ thì $24a-25b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Với cấp số cộng, $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$. Điều kiện $\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$ với mọi $m,n$ suy ra $S_n=c{n}^2$ (hằng số $c$ cố định). Khi đó $u_n=S_n-S_{n-1}=c(2n-1)$. Vậy $\frac{u_{24}}{u_{25}}=\frac{47c}{49c}=\frac{47}{49}$, tức $a=47,b=49$. Tính $24a-25b=24\cdot 47-25\cdot 49=1128-1225=-97$. Kiểm tra: $1128-1225=-97$ đúng.