Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mô hình thực tế bằng hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có đỉnh $I(1;7)$ và đi qua $(0;2)$ nên $h(t)=a(t-1{)}^2+7$; $h(0)=a+7=2\Rightarrow a=-5$. Vậy $h(t)=-5t^2+10t+2$. a) $a=-5<0$ đúng. b) Đỉnh $(1;7)$ nên $h_{max}=7m$ đúng. c) $a=-5$, $b=10$, $a\ne 2b$ nên sai. d) $-5t^2+10t+2=0\Rightarrow t=\frac{10+\sqrt{140}}{10}\approx 2,18$ giây, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol hướng xuống, $a=-5<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh $(1;7)$ nên chiều cao lớn nhất $7m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=-5$, $b=10$ nên $a\ne 2b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$-5t^2+10t+2=0\Rightarrow t=\frac{10+\sqrt{140}}{10}\approx 2,18$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (m) là chiều hàng rào song song với bờ sông (mặt chi phí 60000 đồng/m), $y$ (m) là chiều sâu mỗi khu; ba mặt song song nhau mỗi mặt dài $y$ với chi phí 80000 đồng/m. Chi phí: $60000x+3\cdot 80000y=12000000\Rightarrow 3x+12y=600\Rightarrow x+4y=200$, với $x,y>0$. Diện tích hai khu: $S=xy=x\cdot \frac{200-x}{4}=\frac{200x-x^2}{4}$, là parabol đạt max tại $x=100$, khi đó $y=25$. Diện tích lớn nhất $S=100\cdot 25=2500{\text{m}}^2$. Kiểm tra chi phí: $60000\cdot 100+240000\cdot 25=12000000$ đồng, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, bờ sông ở phía trên nên cạnh AD sát sông không cần rào. Cần rào 3 đoạn vuông góc bờ sông (AB, FE, DC) mỗi đoạn dài $x$ (m) và 1 đoạn song song bờ sông $BC$ dài $y$ (m).

Ràng buộc: $3x+y=180\Rightarrow y=180-3x$, với $0<x<60$.

Diện tích khu đất: $S=xy=x(180-3x)=-3x^2+180x$.

Hàm bậc hai với $a=-3<0$ đạt max tại $x=-\frac{b}{2a}=\frac{180}{6}=30$ (thỏa điều kiện). Khi đó $y=180-90=90$.

$S_{\max }=30\cdot 90=2700m^2$.

Kiểm tra: tổng hàng rào $3(30)+90=180$ m, đúng đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Số kg bán được khi giá bán $a$ (nghìn đồng/kg): $40+10(50-a)=540-10a$, với $30\le a\le 50$. Lợi nhuận: $P(a)=(a-30)(540-10a)=-10a^2+840a-16200$. Hàm bậc hai đạt max tại $a=\frac{840}{20}=42$ (nghìn đồng), thuộc khoảng xác định. Vậy $S=3a-6=3\cdot 42-6=120$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại trung điểm $CD$ trên mặt đất. Khi đó $A(-4;4)$, $B(4;4)$, đỉnh parabol $I(0;h)$ với $h$ là chiều cao cần tìm. Parabol có dạng $y=h-k{x}^2$. Vì parabol đi qua $B(4;4)$ nên $4=h-16k\Rightarrow k=\frac{h-4}{16}$. Xe container rộng $6m$ nên hai mép thùng xe tại $x=\pm 3$; để xe đi qua được, chiều cao cổng tại $x=3$ phải ít nhất bằng $5,4m$: $h-9k\ge 5,4\Rightarrow h-\frac{9(h-4)}{16}\ge 5,4\Rightarrow \frac{7h+36}{16}\ge 5,4\Rightarrow 7h+36\ge 86,4\Rightarrow h\ge 7,2$. Vậy đỉnh $I$ cách mặt đất tối thiểu $7,2m$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc O(0;0), trục Ox là mặt đất, A(10;0) vì OA = 10 m. Parabol đi qua O và A nên có dạng y = ax(x - 10). Điểm M nằm trên cổng, MH = 27/5 m và H cách O một khoảng 1 m nên M(1; 27/5). Thay tọa độ M vào phương trình: a·1·(1 - 10) = 27/5 ⟹ -9a = 27/5 ⟹ a = -3/5. Vậy y = -3/5·x(x - 10) = -3/5 x² + 6x. Chiều cao cổng là giá trị lớn nhất của y trên [0;10], đạt tại x = -b/(2a) = -6/(2·(-3/5)) = 5: y_max = -3/5·25 + 6·5 = -15 + 30 = 15 (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 15.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), kết quả là 1200.

Giá bán mỗi chai là $350000$ đồng $=350$ nghìn đồng.
Doanh thu từ việc bán $x$ chai: $R(x)=350x$ (nghìn đồng).
Lợi nhuận mỗi tháng của cơ sở:
$L(x)=R(x)-C(x)=350x-\left(\frac{1}{10}{x}^2+110x+30000\right)=-\frac{1}{10}{x}^2+240x-30000$.
Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a=-\frac{1}{10}<0$, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol:
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{240}{2\cdot (-0,1)}=\frac{240}{0,2}=1200$.
Vì $1200\in [0;2000]$ nên cơ sở nên sản xuất 1200 chai mỗi tháng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.