Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào một khu đất cạnh bờ sông thành hai chuồng nuôi gia cầm hình chữ nhật sát nhau, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt (hình vẽ). Biết rằng trang trại đã có sẵn $180m$ dài hàng rào và phần chuồng cạnh bờ sông thì không phải rào. Hỏi diện tích khu đất được rào lớn nhất là bao nhiêu $m^2$?

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, bờ sông ở phía trên nên cạnh AD sát sông không cần rào. Cần rào 3 đoạn vuông góc bờ sông (AB, FE, DC) mỗi đoạn dài $x$ (m) và 1 đoạn song song bờ sông $BC$ dài $y$ (m).

Ràng buộc: $3x+y=180\Rightarrow y=180-3x$, với $0<x<60$.

Diện tích khu đất: $S=xy=x(180-3x)=-3x^2+180x$.

Hàm bậc hai với $a=-3<0$ đạt max tại $x=-\frac{b}{2a}=\frac{180}{6}=30$ (thỏa điều kiện). Khi đó $y=180-90=90$.

$S_{\max }=30\cdot 90=2700m^2$.

Kiểm tra: tổng hàng rào $3(30)+90=180$ m, đúng đề bài.