Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng 2 và có trọng tâm $G$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=1$ là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đồng nhất thức với trọng tâm $G$: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=3{\overrightarrow{MG}}^2-\frac{1}{2}(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)$. Tam giác đều cạnh 2 nên $GA=GB=GC=\frac{2}{\sqrt{3}}$, do đó $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=4$. Biểu thức bằng $3M{G}^2-2$. Kiểm tra: với $M=A$, vế trái $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\cdot 2\cos 60^{\circ }=2$, và $3G{A}^2-2=3\cdot \frac{4}{3}-2=2$ ✓. Điều kiện $3M{G}^2-2=1\Rightarrow M{G}^2=1\Rightarrow MG=1$. Vậy tập hợp $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $1$.