Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tổ hợp không thứ tự (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện có 4 đỉnh, mỗi cạnh là một cặp đỉnh nên số cạnh là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn nhóm ít nhất 2 người từ 5 người: $C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=10+10+5+1=26$. (Cách khác: $2^5-C_5^0-C_5^1=32-1-5=26$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số đoạn thẳng tạo bởi $n$ điểm phân biệt là $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n-1)}{2}=78\Rightarrow n(n-1)=156\Rightarrow n^2-n-156=0$. Giải: $n=\frac{1\pm \sqrt{1+624}}{2}=\frac{1\pm 25}{2}$, chọn nghiệm dương $n=13$ (thỏa $n>1$). Thử lại: $C_{13}^2=\frac{13\cdot 12}{2}=78$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh trực nhật từ 40 học sinh, thứ tự không quan trọng nên dùng tổ hợp: $C_{40}^2=\frac{40\cdot 39}{2}=780$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 nam từ 7 nam: $C_7^2=21$ cách. Chọn 3 nữ từ 10 nữ: $C_{10}^3=120$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 5 học sinh gồm 2 nam và 3 nữ là $21\times 120=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III Câu 2: 2520).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện ABCD có 4 đỉnh, mỗi cặp đỉnh nối với nhau bởi một cạnh nên số cạnh là $C_4^2=6$: các cạnh AB, AC, AD, BC, BD, CD. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15 phần tử: $C_{15}^4=\frac{15!}{4!11!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{24}=1365$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ công thức tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, nên mệnh đề B đúng. Kiểm tra các mệnh đề khác: A sai vì $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$ (không phải $(n-k)!$); C sai vì $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; D sai vì $P_n=A_n^n$ (không phải $A_n^k$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 110, câu 9: B.

Chọn C.
Tổng số điểm phân biệt là $5+7=12$ điểm.
Để tạo thành một tam giác từ 12 điểm này:
- Trường hợp 1: Chọn 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$: có $C_5^1\cdot C_7^2=5\cdot 21=105$ tam giác.
- Trường hợp 2: Chọn 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: có $C_5^2\cdot C_7^1=10\cdot 7=70$ tam giác.
Tổng số tam giác tạo thành là $105+70=175$ tam giác.

Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi $2$ điểm phân biệt thuộc $S$, nên số đoạn thẳng là $C_{18}^2$.

Có 3 loại phần thưởng: Toán - Lý, Toán - Hóa, Lý - Hóa.
Gọi số phần thưởng Toán - Lý là $x$, Toán - Hóa là $y$, Lý - Hóa là $z$ ($x,y,z\in \mathbb{N}$).
Tổng số học sinh được nhận thưởng là 15: $x+y+z=15$.
Số sách toán dùng: $x+y=10$. Số sách lý dùng: $x+z=11$. Số sách hóa dùng: $y+z=9$.
Giải hệ phương trình:
$x+y+z=15$, suy ra $z=15-10=5$, $y=15-11=4$, $x=15-9=6$.
Vậy có 6 phần thưởng Toán - Lý, 4 phần thưởng Toán - Hóa, 5 phần thưởng Lý - Hóa.
Số cách trao giải cho 15 học sinh là: chọn 6 em nhận Toán - Lý có $C_{15}^6$ cách, chọn 4 em trong 9 em còn lại nhận Toán - Hóa có $C_9^4$ cách, 5 em còn lại nhận Lý - Hóa có $C_5^5=1$ cách.
Tổng số cách trao giải là $C_{15}^6{C}_9^4$.

Chọn đáp án B.

Số cách chọn 2 học sinh từ nhóm 10 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 10: $C_{10}^2=\frac{10!}{2!8!}=45$. Chọn D.

Một tam giác được tạo thành khi chọn 1 điểm từ đường thứ nhất và 2 điểm từ đường thứ hai, hoặc 2 điểm từ đường thứ nhất và 1 điểm từ đường thứ hai: $C_{10}^1{C}_{15}^2+C_{10}^2{C}_{15}^1=10\cdot 105+45\cdot 15=1050+675=1725$. Chọn C.