Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét $45^{2026}=(45^2{)}^{1013}=2025^{1013}$. Phương trình trở thành $\sqrt{x^2-3x-4+2025^{1013}}=\sqrt{2x^2-x-12+2025^{1013}}$. Bình phương hai vế: $x^2-3x-4=2x^2-x-12\iff x^2+2x-8=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Với cả hai giá trị, do $2025^{1013}$ rất lớn nên cả hai biểu thức trong căn đều dương, thỏa mãn điều kiện. Tổng các nghiệm $S=2+(-4)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Điều kiện $x^2-4\ge 0$: $x=1$ cho $1-4=-3<0$ nên loại; $x=-4$ cho $16-4=12\ge 0$ và $2\cdot 16+3(-4)-8=12\ge 0$ nên thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $5x^2-8x+2<0$ có ẩn ở bậc hai nên là bất phương trình bậc hai. b) Đúng: $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$. c) Đúng: bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$. d) Sai: từ $4x^2-8x=0$ được $x=0$ hoặc $x=2$; cả hai đều thỏa mãn phương trình gốc (kiểm tra: $x=0$ cho $\sqrt{2}=\sqrt{2}$, $x=2$ cho $\sqrt{6}=\sqrt{6}$). Tổng bình phương các nghiệm $=0^2+2^2=4\ne 16$. Khớp đáp án DDDS của mã đề 123.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình có ẩn bậc hai, hệ số $a=5\ne 0$, nên là bất phương trình bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^2\ge 0$ nên $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$; tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của phương trình là $x=0$ và $x=2$ (đều thỏa điều kiện), tổng bình phương $=0+4=4\ne 16$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $\sqrt{2x^2+x+3}=\sqrt{x^2-4x+3}$ (1).

a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Kiểm tra điều kiện xác định (xem c): cả hai giá trị đều thỏa mãn nên $S=\{-5;0\}\ne \{0;2\}$ → Sai.

b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=x_1^2+x_2^2-3x_1{x}_2=25+0-0=25$ → Đúng.

c) Điều kiện xác định: $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (vì $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$ do $\Delta <0$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.

d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3$, $g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, 4b: D, 4c: S, 4d: D).
a) Bình phương hai vế: $2x^2+x+3=x^2-4x+3\iff x^2+5x=0\iff x=0$ hoặc $x=-5$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định nên tập nghiệm là $S=\{-5;0\}$, không phải $\{0;2\}$ → Sai.
b) Với $x_1=-5,x_2=0$: $P=(-5{)}^2+0^2-3\cdot (-5)\cdot 0=25$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định là $x^2-4x+3\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ (với $2x^2+x+3>0$ với mọi $x$), không phải $1\le x\le 3$ → Sai.
d) Phương trình (1) có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ với $f(x)=2x^2+x+3,g(x)=x^2-4x+3$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2a)** $\sqrt{x^2-7x+10}=3x-1$

Điều kiện: $x^2-7x+10\ge 0$ và $3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$.

Bình phương hai vế: $x^2-7x+10=(3x-1{)}^2=9x^2-6x+1$

$\iff 8x^2+x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{8}$.

Vì $x\ge \frac{1}{3}$ nên chỉ nhận $x=1$ (thử lại: $\sqrt{1-7+10}=2=3(1)-1$, đúng).

Vậy $S=\{1\}$.

**Bài 2c)** $\sqrt{3x^2-4x-4}=\sqrt{2x+5}$

Điều kiện: $2x+5\ge 0\iff x\ge -\frac{5}{2}$ (khi đó vế trái cũng xác định do hai vế bằng nhau).

Bình phương hai vế: $3x^2-4x-4=2x+5\iff 3x^2-6x-9=0\iff x^2-2x-3=0$

$\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Cả hai đều thỏa $x\ge -\frac{5}{2}$.

Thử lại: $x=3$: $\sqrt{27-12-4}=\sqrt{11}=\sqrt{11}$ đúng; $x=-1$: $\sqrt{3+4-4}=\sqrt{3}=\sqrt{3}$ đúng.

Vậy $S=\{-1;3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 1$. Bình phương hai vế: $x^2+25x-26=x-x^2\iff 2x^2+24x-26=0\iff x^2+12x-13=0\iff x=1$ hoặc $x=-13$. Vì $x\in [0;1]$ nên chỉ nhận $x=1$. Thử lại: $\sqrt{1+25-26}=0=\sqrt{1-1}$, thỏa mãn. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 302, Phần III Câu 3: 1).

$\Rightarrow 2x^2+7x+1=3x^2+4x-9$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow x^2-3x-10=0$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=5\\ x=-2\end{array}\right]$ (0,25 điểm)
Thử lại và kết luận $x=5$ là nghiệm. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $-4x^2-5x+10=3x^2+2x-7\iff 7x^2+7x-17=0\iff x=\frac{-7\pm 5\sqrt{21}}{14}$. Kiểm tra điều kiện $-4x^2-5x+10\ge 0$: với $x=\frac{-7+5\sqrt{21}}{14}\approx 1,1365$ thì $-4x^2-5x+10\approx -0,85<0$ (loại); với $x=\frac{-7-5\sqrt{21}}{14}\approx -2,1365$ thì $-4x^2-5x+10\approx 2,42>0$ (thỏa). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-3x+2\ge 0$ và $x-1\ge 0$, tức $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+2=x-1\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=3$, đều thỏa điều kiện. Kiểm tra: $x=1$: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ đúng; $x=3$: $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ đúng. Tổng các nghiệm $=1+3=4$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: B).

Phương trình tương đương: $2x^2-3x+1=x^2+2x-3⟺x^2-5x+4=0⟺x=1$ hoặc $x=4$. Thử lại vào điều kiện căn thức: với $x=1⟹x^2+2x-3=0$ (thỏa mãn); với $x=4⟹x^2+2x-3=21>0$ (thỏa mãn). Vậy có đúng nghiệm thỏa mãn theo đáp án chính thức.