Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển bằng đếm kết quả đồng khả năng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_9^2=36$ cách rút 2 thẻ từ 9 thẻ. Tích hai số là số lẻ khi và chỉ khi cả hai thẻ đều mang số lẻ. Có 5 thẻ lẻ (1, 3, 5, 7, 9), nên số cách rút 2 thẻ lẻ là $C_5^2=10$. Xác suất tích lẻ: $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$. Xác suất tích chẵn: $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}\approx 0,7222\approx 0,72$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi tung đồng xu 3 lần: $2^3=8$ kết quả đồng khả năng. Biến cố 'mặt sắp xuất hiện đúng 2 lần' gồm $C_3^2=3$ kết quả (SSN, SNS, NSS). Vậy $P=\frac{3}{8}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=6^2=36$. Tổng chẵn xảy ra khi hai lần cùng chẵn hoặc cùng lẻ: $3\cdot 3+3\cdot 3=18$ kết quả. Vậy $P=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_{15}^5=3003$ nên a đúng. Tất cả nam: $C_8^5=56$ nên b đúng. Chọn 2 nam, 3 nữ: $C_8^2{C}_7^3=28\cdot 35=980$, xác suất $=\frac{980}{3003}=\frac{140}{429}\ne \frac{8}{429}$ nên c sai. Ít nhất một nữ: $1-\frac{56}{3003}=\frac{2947}{3003}=\frac{421}{429}\ne \frac{70}{429}$ nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{15}^5=3003$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^5=56$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{C_8^2{C}_7^3}{C_{15}^5}=\frac{980}{3003}=\frac{140}{429}\ne \frac{8}{429}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$1-\frac{C_8^5}{C_{15}^5}=\frac{2947}{3003}=\frac{421}{429}\ne \frac{70}{429}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 4 kết quả đồng khả năng: SS, SN, NS, NN. Biến cố 'ít nhất một lần sấp' gồm 3 kết quả (mọi kết quả trừ NN), nên xác suất $P=\frac{3}{4}=0,75$. Cách khác: $P=1-P(\text{khoˆng coˊ saˆˊp})=1-\frac{1}{4}=0,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn: $C_{13}^3=286$. Gọi $A$ là nhóm 2 nam khối 11, $B$ là nhóm 3 nữ khối 12 (nhóm nữ duy nhất). Yêu cầu 'có cả nam và nữ' và 'có cả khối 11 và khối 12' tương đương bộ 3 phải chứa ít nhất 1 em từ $A$ và ít nhất 1 em từ $B$ (vì nữ chỉ có ở khối 12, khối 11 chỉ có nam). Số bộ thỏa: (1A,1B,1 khác): $2\cdot 3\cdot 8=48$; (2A,1B): $1\cdot 3=3$; (1A,2B): $2\cdot 3=6$. Tổng $48+3+6=57$. Xác suất $P=\frac{57}{286}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn (2, 4, 6, 8) và 5 số lẻ. Rút đồng thời 2 thẻ từ 9 thẻ: không gian mẫu $n=C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$. Số cách rút được cả hai thẻ cùng ghi số chẵn: $C_4^2=6$. Xác suất $P=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Quy trình n → n − s(n) luôn cho số chia hết cho 9 và giảm dần về 0, nên dãy số (không tính số đầu) hoàn toàn được xác định bởi giá trị f(n) = n − s(n). Với n = 101..199, viết n = 100 + 10a + b thì f(n) = 99 + 9a (a = 0..9); với n = 200 thì f = 198. Vậy chỉ có 11 giá trị f phân biệt: 99, 108, ..., 180 (mỗi giá trị ứng với 10 số, trừ 99 chỉ có 9 số 101–109) và 198 (1 số). Hai bạn có dãy giống nhau ⟺ f của họ bằng nhau.

Tổng dãy bắt đầu từ v = 9k là S(9k) = 9k + S(9k − s(9k)), với S(0)=0. Tính được: S(99)=504, S(108)=612, S(117)=729, S(126)=855, S(135)=990, S(144)=1134, S(153)=1287, S(162)=1449, S(171)=1620, S(180)=1800, S(198)=1998. Xét mod 18: các giá trị {99,108,135,144,162,171,180,198} cho S ≡ 0 (mod 18), tổng số n tương ứng = 9 + 10·6 + 1 = 70 (nhóm T); các giá trị {117,126,153} cho S ≡ 9 (mod 18), tổng số n = 30 (nhóm Đ).

Tổng ba dãy chia hết cho 18 ⟺ số bạn thuộc nhóm Đ là chẵn (0 hoặc 2 bạn).

• Trường hợp 0 bạn nhóm Đ (cả 3 thuộc nhóm T, trọng số w = {9,10,10,10,10,10,10,1}, Σw=70): cần ít nhất hai f trùng nhau. Số bộ thuận lợi = 3Σw_v(70−w_v) + Σw_v³ = 3(70·70 − (81+600+1)) + (729 + 6000 + 1) = 12654 + 6730 = 19384... kiểm tra lại: Σw² = 81 + 6·100 + 1 = 682, nên 3(4900−682) = 12654; Σw³ = 729 + 6000 + 1 = 6730; tổng = 19384. (Sửa lại phép cộng ở trên: 12654 + 6730 = 19384.)

• Trường hợp 2 bạn nhóm Đ, 1 bạn nhóm T: cặp nhóm Đ phải trùng f (nhóm T chỉ có 1 bạn). Chọn bạn nhóm T: 3 cách; chọn giá trị chung của cặp nhóm Đ: 3 giá trị × 10 × 10 cách; bạn nhóm T: 70 cách → 3·3·100·70 = 63000 bộ.

Tổng bộ thuận lợi = 19384 + 63000 = 82384. Xác suất = 82384/100³ = 0,082384 ≈ 0,08.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia 9 người thành 3 nhóm 3 người gán cho 3 xe đánh số: 9!/(3!3!3!) = 362880/216 = 1680 → đúng.
b) Mỗi tình nguyện viên tự chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3 → sai.
c) Không gian mẫu 3^9 = 19683. Số cách để mỗi xe có người (suy hàm từ 9 lên 3): 3^9 − 3·2^9 + 3 = 19683 − 1536 + 3 = 18150. Xác suất = 18150/19683 = 6050/6561 → đúng.
d) Mỗi xe phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất 1 nam. Vì có 3 nữ nên mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách. Sắp 6 nam vào 3 xe, mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 729 − 192 + 3 = 540 cách. Tổng cách thuận lợi = 6·540 = 3240. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chia 9 người thành 3 nhóm mỗi nhóm 3 người gán cho 3 xe: 9!/(3!)^3 = 1680.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi người chọn 1 trong 3 xe nên số cách là 3^9 = 19683, không phải 9^3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số cách mỗi xe có người: 3^9 − 3·2^9 + 3 = 18150; xác suất = 18150/19683 = 6050/6561.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi xe đúng 1 nữ: 3! = 6 cách; 6 nam vào 3 xe mỗi xe ít nhất 1 nam: 3^6 − 3·2^6 + 3 = 540 cách. Xác suất = 3240/19683 = 1080/6561 ≠ 1060/6561.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{50}^2=1225$. Trong các số từ 1 đến 50 có 16 số chia hết cho 3 (3, 6, ..., 48) và 34 số không chia hết cho 3. Ta có $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi $a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ (vì nếu $a,b$ khác dư modulo 3 thì $a^2\equiv b^2\equiv 1$ hoặc một trong hai bằng 0, kiểm tra: $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}3)⟺a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ do bình phương modulo 3 chỉ là 0 hoặc 1). Vậy hai thẻ phải cùng dư modulo 3: hoặc cùng chia hết cho 3, hoặc cùng không chia hết cho 3. Số cách chọn: $C_{16}^2+C_{34}^2=120+561=681$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{681}{1225}$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề và với bảng đáp án mã đề 101, câu 5.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi lần gieo có 6 kết quả nên $n(\Omega )=6\cdot 6=36$ → a) đúng. Biến cố A "tổng bằng 8": các cặp $(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)$ gồm 5 kết quả, không phải 4 → b) sai. Tích bằng 12: các cặp $(2;6),(3;4),(4;3),(6;2)$ gồm 4 kết quả, xác suất $=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ → c) đúng. Hai lần gieo khác nhau: $36-6$ (cặp bằng nhau) $=30$ kết quả, xác suất $=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$ → d) đúng.

a) Mỗi lần gieo có 6 kết quả, hai lần liên tiếp nên $n(\Omega )=6\times 6=36$.

b) Các cặp có tổng bằng 8: $(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)$ — có 5 kết quả thuận lợi, không phải 4.

c) Các cặp có tích bằng 12: $(2;6),(3;4),(4;3),(6;2)$ — 4 kết quả, xác suất $=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

d) Số cặp hai số khác nhau: $36-6=30$, xác suất $=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 15 quả cầu (10 đỏ, 5 xanh), lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Biến cố A: 'lấy được 3 quả xanh': $n(A)=C_5^3=10$. Vậy $P(A)=\frac{10}{455}=\frac{2}{91}\approx 0,022$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 3 quyển từ 9 quyển, $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$. Biến cố A: '3 quyển đều là toán': $n(A)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$. Vậy $P(A)=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người: 16. Số cách chọn 3 người: $C_{16}^3=560$. Số cách chọn cả 3 cùng khối: $C_9^3+C_7^3=84+35=119$. Xác suất $P=\frac{119}{560}=\frac{17}{80}$. Vậy đáp án D.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{10}^6$. Vì số nhỏ thứ hai là $k$, nên số nhỏ thứ nhất nhận các giá trị từ 1 đến $k-1$. Tức có $k-1$ cách chọn số nhỏ thứ nhất. Số nhỏ thứ hai là $k$, nên chỉ có một cách. Bốn số còn lại nhận các giá trị từ $k+1$ đến 10. Từ $k+1$ đến 10 có $10-k$ số, nên có $C_{10-k}^4$ cách chọn bốn số còn lại. Số kết quả thuận lợi của biến cố là $(k-1)C_{10-k}^4$. Chú ý, ta cần có điều kiện $k⩾2$ và $10-k⩾4$, hay $2⩽k⩽6$. Xác suất cần tìm là $$\frac{(k-1)C_{10-k}^4}{C_{10}^6}.$$ Từ kết quả tổng quát trên, nếu số bé thứ hai là $k$, $2⩽k⩽6$, thì xác suất tương ứng là $$\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{3}{14};\frac{2}{21};\frac{1}{42}.$$ Theo bảng đáp án biểu điểm: nếu số nhỏ thứ hai là 4, thì số nhỏ thứ nhất chọn từ tập $\{1;2;3\}$ và bốn số còn lại có số cách chọn là $C_6^4$, nên số cách chọn sao cho số nhỏ thứ hai là 4 là $3C_6^4$; xác suất cần tìm là $$\frac{3C_6^4}{C_{10}^6}=\frac{3}{14}.$$ (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.
a) Gọi $A$ là biến cố “Cả 3 học sinh được chọn đều là nam” $\Rightarrow n(A)=C_4^3=4$.
Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$.

b) Gọi $\overline{A}$ là biến cố “3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ”.
Vậy $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)=1-\frac{4}{120}=\frac{29}{30}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu là tập 30 số nguyên dương từ 1 đến 30, nên $n(\Omega )=30$. Biến cố A: "Số được chọn chia hết cho 4" gồm các số $4,8,12,16,20,24,28$, tức $n(A)=7$. Vậy $P(A)=\frac{7}{30}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 20 là $\{0,1,2,...,20\}$ gồm 21 phần tử. Các số chia hết cho 3 là: $0,3,6,9,12,15,18$ — gồm 7 số. Xác suất $P=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\approx 0,33$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,33.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 18 thẻ từ 1 đến 18, chia theo số dư khi chia cho 3: mỗi lớp dư 0, dư 1, dư 2 đều có 6 thẻ. Tổng số cách bốc 3 thẻ: $C_{18}^3=816$. Trường hợp tổng chia hết cho 3: (1) ba thẻ cùng lớp dư: $3\cdot C_6^3=60$; (2) ba thẻ thuộc ba lớp khác nhau (dư 0,1,2): $6^3=216$. Số cách thuận lợi: $60+216=276$. Xác suất $P=\frac{276}{816}=\frac{23}{68}$ (tối giản, vì $\gcd (23,68)=1$). Vậy $a=23,b=68$, suy ra $2a-2b=46-136=-90$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 8 bi đỏ, 7 bi xanh, 5 bi vàng (tổng 20 bi), lấy ngẫu nhiên 3 bi.

a) $n(\Omega )=C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. → Đúng.

b) Xác suất lấy được 3 bi đỏ: $P=\frac{C_8^3}{C_{20}^3}=\frac{56}{1140}=\frac{14}{285}\ne \frac{14}{283}$. → Sai.

c) Xác suất có ít nhất một bi đỏ: $P=1-\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=1-\frac{220}{1140}=\frac{920}{1140}=\frac{46}{57}\approx 0,807\ne \frac{11}{56}$. → Sai.

d) Xác suất lấy được 3 bi có đúng hai màu (mỗi màu trong hai màu được chọn phải xuất hiện ít nhất một lần):
- Đỏ và xanh: $C_8^1{C}_7^2+C_8^2{C}_7^1=8\cdot 21+28\cdot 7=364$.
- Đỏ và vàng: $C_8^1{C}_5^2+C_8^2{C}_5^1=80+140=220$.
- Xanh và vàng: $C_7^1{C}_5^2+C_7^2{C}_5^1=70+105=175$.
Tổng: $364+220+175=759$, nên $P=\frac{759}{1140}=\frac{253}{380}$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (mã đề 0102: ĐSSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_8^3}{C_{20}^3}=\frac{14}{285}\ne \frac{14}{283}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=\frac{46}{57}\ne \frac{11}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách lấy 3 bi đúng hai màu: $364+220+175=759$, nên $P=\frac{759}{1140}=\frac{253}{380}$.