Trong một buổi ôn tập Xác suất của lớp 12 tại trường THPT trong tỉnh Bắc Ninh, có ba bạn học sinh được thầy giáo gọi lên bảng. Mỗi bạn độc lập viết ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc $[101;200]$, sau đó lấy số tự nhiên vừa viết ra trừ cho tổng các chữ số của nó, kết quả thu được lại đem ra để trừ cho tổng các chữ số của kết quả đó... Quá trình này cứ tiếp tục cho đến khi có số 0 xuất hiện thì dừng lại. Theo quy luật này, mỗi bạn đã tìm được cho mình một dãy số tự nhiên hữu hạn, không tính số đầu tiên được viết ra. Tìm xác suất sao cho có ít nhất hai bạn viết được dãy số tự nhiên hoàn toàn giống nhau, đồng thời tổng tất cả số hạng của cả ba dãy số mà ba bạn viết được là một số chia hết cho 18 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Quy trình n → n − s(n) luôn cho số chia hết cho 9 và giảm dần về 0, nên dãy số (không tính số đầu) hoàn toàn được xác định bởi giá trị f(n) = n − s(n). Với n = 101..199, viết n = 100 + 10a + b thì f(n) = 99 + 9a (a = 0..9); với n = 200 thì f = 198. Vậy chỉ có 11 giá trị f phân biệt: 99, 108, ..., 180 (mỗi giá trị ứng với 10 số, trừ 99 chỉ có 9 số 101–109) và 198 (1 số). Hai bạn có dãy giống nhau ⟺ f của họ bằng nhau.

Tổng dãy bắt đầu từ v = 9k là S(9k) = 9k + S(9k − s(9k)), với S(0)=0. Tính được: S(99)=504, S(108)=612, S(117)=729, S(126)=855, S(135)=990, S(144)=1134, S(153)=1287, S(162)=1449, S(171)=1620, S(180)=1800, S(198)=1998. Xét mod 18: các giá trị {99,108,135,144,162,171,180,198} cho S ≡ 0 (mod 18), tổng số n tương ứng = 9 + 10·6 + 1 = 70 (nhóm T); các giá trị {117,126,153} cho S ≡ 9 (mod 18), tổng số n = 30 (nhóm Đ).

Tổng ba dãy chia hết cho 18 ⟺ số bạn thuộc nhóm Đ là chẵn (0 hoặc 2 bạn).

• Trường hợp 0 bạn nhóm Đ (cả 3 thuộc nhóm T, trọng số w = {9,10,10,10,10,10,10,1}, Σw=70): cần ít nhất hai f trùng nhau. Số bộ thuận lợi = 3Σw_v(70−w_v) + Σw_v³ = 3(70·70 − (81+600+1)) + (729 + 6000 + 1) = 12654 + 6730 = 19384... kiểm tra lại: Σw² = 81 + 6·100 + 1 = 682, nên 3(4900−682) = 12654; Σw³ = 729 + 6000 + 1 = 6730; tổng = 19384. (Sửa lại phép cộng ở trên: 12654 + 6730 = 19384.)

• Trường hợp 2 bạn nhóm Đ, 1 bạn nhóm T: cặp nhóm Đ phải trùng f (nhóm T chỉ có 1 bạn). Chọn bạn nhóm T: 3 cách; chọn giá trị chung của cặp nhóm Đ: 3 giá trị × 10 × 10 cách; bạn nhóm T: 70 cách → 3·3·100·70 = 63000 bộ.

Tổng bộ thuận lợi = 19384 + 63000 = 82384. Xác suất = 82384/100³ = 0,082384 ≈ 0,08.