Xét hàm số $f(x)=\left|x^2+ax+b\right|$ với $a$, $b$ là tham số. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $[1;3]$. Khi $M$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính $a+2b$ .

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x-2\in [-1;1]$, khi đó $x^2+ax+b=(t+2{)}^2+a(t+2)+b=t^2+(a+4)t+(4+2a+b)$. Theo tính chất xấp xỉ Chebyshev, đa thức đơn thức (hệ số cao nhất bằng 1) bậc hai có giá trị lớn nhất (theo trị tuyệt đối) nhỏ nhất trên $[-1;1]$ là $t^2-\frac{1}{2}$, với sup-norm bằng $\frac{1}{2}$. Do đó cần $a+4=0\Rightarrow a=-4$ và $4+2a+b=-\frac{1}{2}\Rightarrow 4-8+b=-\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{7}{2}$. Khi đó $f(x)=\left|(x-2{)}^2-\frac{1}{2}\right|$ đạt max trên $[1;3]$ bằng $\frac{1}{2}$ (tại $x=1,2,3$), và đây là giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ vì mọi đa thức monic bậc hai đều có sup-norm trên $[-1;1]$ ít nhất $\frac{1}{2}$. Vậy $a+2b=-4+2\cdot \frac{7}{2}=-4+7=3$. Đáp án D.