Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_{3}x\ge 1+{\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ là

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{3}x$, với $x>0$. Ta có $b=a{\log }_{3}2=\frac{a}{{\log }_{2}3}=\frac{a}{k}$ với $k={\log }_{2}3\approx 1,585$. Bất phương trình trở thành $a+\frac{a}{k}\ge 1+\frac{a^2}{k}$. Nhân với $k>0$: $a(k+1)\ge k+a^2\iff a^2-(k+1)a+k\le 0\iff (a-1)(a-k)\le 0\iff 1\le a\le {\log }_{2}3$. Suy ra $2\le x\le 3$. Các nghiệm nguyên: $x=2$ (kiểm tra: $1+{\log }_{3}2\ge 1+{\log }_{3}2$, đúng) và $x=3$ (kiểm tra: ${\log }_{2}3+1\ge 1+{\log }_{2}3$, đúng). Vậy có 2 nghiệm nguyên, chọn B.