Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $(a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố$)$. Tính $a+b+c$

(AI giải đề cho tôi)
Trừ hai phương trình mặt cầu: (S1) khai triển thành x^2+y^2+z^2-2x-2y+6z-14=0, (S2): x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0, suy ra giao tuyến nằm trên mặt phẳng (P): z=0. Phản xạ của A qua (P) là A'(0;0;-3), của B là B'(2;-3;5) thì AM=A'M, BN=B'N. Viết N=M+u với |u|=1, u song song (P). Khi đó AM+BN=A'M+|B'-M-u|=A'M+MB” với B”=B'-u. Vì A' và B” khác phía so với (P) nên min = A'B” = $\sqrt{(2-u_x{)}^2+(-3-u_y{)}^2+64}$. Ta có (2-u_x)^2+(-3-u_y)^2=14-4u_x+6u_y, nhỏ nhất bằng 14-$\sqrt{16+36}$=14-2$\sqrt{13}$. Vậy min = $\sqrt{78-2\sqrt{13}}$, tức a=78, b=2, c=13 (nguyên tố), a+b+c=93. Đáp án A.